2.设随机变量X与Y的数学期望分别为 -2 和2,方差分别为1和4,而相关系数为 -0.5,-|||-根据切比雪夫不等式估计 |XX+Y|geqslant 6

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，涉及随机变量的期望、方差、协方差及相关系数的计算。

解题核心思路：

1. 构造新随机变量：将问题中的事件转化为关于新随机变量$Z = X + Y$的形式。
2. 计算期望与方差：利用期望和方差的性质，结合相关系数求出$Z$的方差。
3. 应用切比雪夫不等式：将事件$|Z| \geq 6$与切比雪夫不等式的标准形式对应，确定参数$k$，从而求出概率的上界。

破题关键点：

• 正确计算协方差：通过相关系数$\rho$与标准差的关系求出协方差。
• 方差公式的应用：注意方差公式中协方差的系数为$2$。
• 切比雪夫不等式的变形：将事件$|Z| \geq 6$与$|Z - E(Z)| \geq k\sigma$对应，确定$k$的值。

步骤1：计算$Z = X + Y$的期望

$E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = -2 + 2 = 0$

步骤2：计算$Z = X + Y$的方差

协方差公式：
$\text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = (-0.5) \cdot 1 \cdot 2 = -1$
方差公式：
$D(Z) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y) = 1 + 4 + 2 \cdot (-1) = 3$
标准差：
$\sigma = \sqrt{D(Z)} = \sqrt{3}$

步骤3：应用切比雪夫不等式

切比雪夫不等式形式：
$P\left\{ |Z - E(Z)| \geq k\sigma \right\} \leq \frac{1}{k^2}$
将事件$|Z| \geq 6$代入，得：
$k\sigma = 6 \implies k = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$
代入不等式：
$P\left\{ |Z| \geq 6 \right\} \leq \frac{1}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{12}$