题目
填空题（共15题，30.0分）45.（2.0分）设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为P(X=1,Y=0)=0.1，P(X=1,Y=2)=0.2，P(X=2,Y=0)=a，P(X=2,Y=2)=b，则E(X+2)=____.
填空题（共15题，30.0分）
45.（2.0分）设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
P(X=1,Y=0)=0.1，P(X=1,Y=2)=0.2，
P(X=2,Y=0)=a，P(X=2,Y=2)=b，则E(X+2)=____.
题目解答
答案
为了求解 $E(X+2)$，我们首先需要确定 $X$ 的边缘分布律。二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律如下：
\[
\begin{array}{c|cc}
& Y=0 & Y=2 \\
\hline
X=1 & 0.1 & 0.2 \\
X=2 & a & b \\
\end{array}
\]
由于 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律必须满足所有概率之和等于1的条件，我们可以写出：
\[
0.1 + 0.2 + a + b = 1
\]
简化得到：
\[
a + b = 0.7
\]
接下来，我们求 $X$ 的边缘分布律。 $X$ 的边缘分布律是 $X$ 取每个值的概率，不考虑 $Y$ 的取值。因此，我们有：
\[
P(X=1) = 0.1 + 0.2 = 0.3
\]
\[
P(X=2) = a + b = 0.7
\]
现在，我们可以求 $X$ 的期望 $E(X)$。期望的计算公式为：
\[
E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.7 = 0.3 + 1.4 = 1.7
\]
题目要求我们求 $E(X+2)$。利用期望的线性性质，我们有：
\[
E(X+2) = E(X) + E(2) = E(X) + 2 = 1.7 + 2 = 3.7
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{3.7}
\]
解析
考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘分布律计算、期望的线性性质，以及联合分布律的归一性条件。
解题核心思路：
- 利用联合分布律的归一性，确定未知概率$a$和$b$的关系；
- 计算随机变量$X$的边缘分布律；
- 求出$X$的期望$E(X)$；
- 利用期望的线性性质，将$E(X+2)$转化为$E(X)+2$。
破题关键点：
- 归一性条件：所有联合概率之和为1，即$0.1 + 0.2 + a + b = 1$；
- 边缘分布律：$X$的取值对应的概率是联合概率在$Y$各取值下的累加；
- 期望的线性性：$E(X + c) = E(X) + c$（$c$为常数）。
步骤1：确定$a + b$的值
根据联合分布律的归一性：
$0.1 + 0.2 + a + b = 1 \implies a + b = 0.7$
步骤2：计算$X$的边缘分布律
- 当$X=1$时，$Y$的可能取值为0和2，对应概率为$0.1$和$0.2$，因此：
$P(X=1) = 0.1 + 0.2 = 0.3$ - 当$X=2$时，$Y$的可能取值为0和2，对应概率为$a$和$b$，因此：
$P(X=2) = a + b = 0.7$
步骤3：计算$E(X)$
根据边缘分布律：
$E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.7 = 0.3 + 1.4 = 1.7$
步骤4：计算$E(X+2)$
利用期望的线性性质：
$E(X+2) = E(X) + E(2) = E(X) + 2 = 1.7 + 2 = 3.7$