9、曲面 z= sqrt (x^2+y^2) 包含在圆柱 x^2+y^2=2x 内部的那部分面积S=（）.A. sqrt (3) pi;B. sqrt (2) pi;C. sqrt (5) pi;D. 2 sqrt (2) pi.

本题考查利用曲面积分求曲面的面积，解题思路是先根据曲面面积公式确定被积函数，再确定积分区域，最后将二重积分转化为极坐标形式进行计算。

步骤一：求曲面面积公式中的被积函数

已知曲面方程$z = \sqrt{x^2 + y^2}$，对$z$分别求关于$x$和$y$的偏导数：

• 对$x$求偏导数：
  根据求导公式$(\sqrt{u})^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt{u}}$，令$u = x^2 + y^2$，则$z_{x}=\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
• 对$y$求偏导数：
  同理可得$z_{y}=\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
  根据曲面面积公式$S = \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}dxdy$，将$z_{x}$和$z_{y}$代入可得：
  $\begin{align*}\sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}}&=\sqrt{1 + (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 + (\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2}\\&=\sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}}\\&=\sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2}}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$
  所以$S = \iint_{D} \sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\iint_{D}dxdy$，其中$D$是曲面在$xOy$平面上的投影区域。

步骤二：确定积分区域$D$

已知圆柱方程$x^2 + y^2 = 2x$，将其化为圆的标准方程：
$\begin{align*}x^2 + y^2 &= 2x\\x^2 - 2x + 1 + y^2 &= 1\\(x - 1)^2 + y^2 &= 1\end{align*}$
这表示圆心为$(1,0)$，半径为$1$的圆。所以积分区域$D$是该圆所围成的区域。

步骤三：计算二重积分

在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$。
圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$的极坐标方程为$r = 2\cos\theta$，$\theta$的取值范围是$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
则$\iint_{D}dxdy=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2\cos\theta}r dr$。
先计算内层积分$\int_{0}^{2\cos\theta}r dr$：
根据积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{2\cos\theta}r dr = \frac{1}{2}r^2\big|_{0}^{2\cos\theta} = 2\cos^2\theta$。
再计算外层积分$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2\theta d\theta$：
根据二倍角公式$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$，可得：
$\begin{align*}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2\theta d\theta&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos2\theta) d\theta\\&=(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta)\big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\&=(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\pi) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi))\\&=\pi\end{align*}$
所以$S = \sqrt{2}\iint_{D}dxdy = \sqrt{2}\pi$。