题目
【题目】质量为m的小球,在水中受的浮力为常力F,当它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力大小为f=k(k为常数)。证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为。式中t为从沉降开始计算的时间。
【题目】质量为m的小球,在水中受的浮力为常力F,当它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力大小为f=k(k为常数)。证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为。式中t为从沉降开始计算的时间。
题目解答
答案
:∵F_E=mg-F-kV_t=ma_t=m(dv)/(dt) ∴mg-F-kv=m(dv)/(dt) (dt)/m=(dv)/(mg-F-kV) ∴∫(dt)/m=∫(4v)/(m+1)-kV mg-F—KV∴t/m=-1/k|n(mg-7-kV)+C_1 ∴t/m=-1/kln(2(mg-F-kV) ∴lnC_2(mg-F-kV)=-(kt)/m ∴C_2(m⋅g-F-kV)=e^(-(kc)/(2m)) ∴c=(mg-F)/m=ce^(-(ke)/m) ∴t= 0时.V=0∴C=mg-F ∴V=(mg-F)/k(1-e^(-(ma)/m))【解析】∴∫(dt)/m=∫(4v)/(mg-F-kV) ∴V=(mg-F)/k(1-e^(-(Rc)/m)
解析
步骤 1：受力分析
小球在水中受到重力mg、浮力F和粘滞阻力f=kv的作用。根据牛顿第二定律，小球的加速度a满足：ma = mg - F - kv。
步骤 2：建立微分方程
将加速度a表示为速度v对时间t的导数，即a = dv/dt，代入上式得到：m(dv/dt) = mg - F - kv。
步骤 3：分离变量并积分
将上式改写为：(dt)/m = (dv)/(mg - F - kv)。对两边积分，得到：∫(dt)/m = ∫(dv)/(mg - F - kv)。
步骤 4：求解积分
左边积分得到t/m，右边积分得到-1/k ln|mg - F - kv| + C，其中C为积分常数。因此，有t/m = -1/k ln|mg - F - kv| + C。
步骤 5：确定积分常数
当t=0时，v=0，代入上式得到C = -1/k ln|mg - F|。因此，t/m = -1/k ln|mg - F - kv| + 1/k ln|mg - F|。
步骤 6：整理得到速度v与时间t的关系
将上式整理得到：ln|mg - F - kv| = ln|mg - F| - kt/m。进一步整理得到：mg - F - kv = (mg - F)e^(-kt/m)。解出v得到：v = (mg - F)/k(1 - e^(-kt/m))。
小球在水中受到重力mg、浮力F和粘滞阻力f=kv的作用。根据牛顿第二定律，小球的加速度a满足：ma = mg - F - kv。
步骤 2：建立微分方程
将加速度a表示为速度v对时间t的导数，即a = dv/dt，代入上式得到：m(dv/dt) = mg - F - kv。
步骤 3：分离变量并积分
将上式改写为：(dt)/m = (dv)/(mg - F - kv)。对两边积分，得到：∫(dt)/m = ∫(dv)/(mg - F - kv)。
步骤 4：求解积分
左边积分得到t/m，右边积分得到-1/k ln|mg - F - kv| + C，其中C为积分常数。因此，有t/m = -1/k ln|mg - F - kv| + C。
步骤 5：确定积分常数
当t=0时，v=0，代入上式得到C = -1/k ln|mg - F|。因此，t/m = -1/k ln|mg - F - kv| + 1/k ln|mg - F|。
步骤 6：整理得到速度v与时间t的关系
将上式整理得到：ln|mg - F - kv| = ln|mg - F| - kt/m。进一步整理得到：mg - F - kv = (mg - F)e^(-kt/m)。解出v得到：v = (mg - F)/k(1 - e^(-kt/m))。