34.设 = 1,2,3,4,5,, A上的二元关系 ={ (1,1), (2,2),(3,3),(3,4);(4,4),(5,3),(5,4),-|||-(5,5)).-|||-(1)证明R是A上的偏序关系,并画出哈斯图;-|||-(2)若 = 2,3,4,5 , 求B的最大元素、最小元素、极大元素、极小元素、上确界和下确界

偏序关系的证明需要验证三个性质：自反性、反对称性、传递性。

• 自反性：每个元素$(a,a)$必须属于$R$。
• 反对称性：若$(a,b) \in R$且$(b,a) \in R$，则$a = b$。
• 传递性：若$(a,b) \in R$且$(b,c) \in R$，则$(a,c) \in R$。

哈斯图的绘制需体现覆盖关系，即直接前驱和直接后继。
子集$B$的极值与确界需结合偏序关系分析：

• 最大/最小元素：若存在，则唯一；
• 极大/极小元素：局部不可比较的最大/最小；
• 上下确界：需存在上界/下界，并从中取极值。

第（1）题：证明$R$是偏序关系并画哈斯图

证明$R$是偏序关系

1. 自反性
   $R$中包含$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)$，满足自反性。

2. 反对称性
   若$(a,b) \in R$且$(b,a) \in R$，则$a = b$。例如，$(3,4) \in R$但$(4,3) \notin R$，无反例，故反对称性成立。

3. 传递性
   检查所有可能的链：

   • $(5,3) \in R$且$(3,4) \in R$，则$(5,4) \in R$；
   • 其他组合均满足传递性，故传递性成立。

综上，$R$是偏序关系。

画哈斯图

• 覆盖关系：
  • $5 \to 3$（因$(5,3) \in R$且无中间节点）；
  • $5 \to 4$（因$(5,4) \in R$）；
  • $3 \to 4$（因$(3,4) \in R$）。
• 哈斯图结构：

    5  
   / \  
  3   4  
  |  
  1  2  

第（2）题：求$B = \{2,3,4,5\}$的极值与确界

极大元素与极小元素

• 极大元素：无元素在$5$之上，故极大元素为$5$。
• 极小元素：$2$和$5$均无其他元素在其之下，故极小元素为$2$和$5$。

最大元素与最小元素

• 最大元素：无元素能比较到所有其他元素（如$5$与$2$不可比较），故不存在。
• 最小元素：无元素能被所有其他元素比较，故不存在。

上确界与下确界

• 上确界：无公共上界，故不存在。
• 下确界：无公共下界，故不存在。