设alpha_1=(1,1,1), alpha_2=(1,2,3), alpha_3=(1,3,t). 问:(1) 当t为何值时，向量组alpha_1,alpha_2,alpha_3线性无关？(2) 当t为何值时，向量组alpha_1,alpha_2,alpha_3线性相关？(3) 当向量组alpha_1,alpha_2,alpha_3线性相关时，将alpha_3表示为alpha_1和alpha_2的线性组合

我们来逐步分析并解答这个题目。

已知三个三维向量：

$\alpha_1 = (1,1,1),\quad \alpha_2 = (1,2,3),\quad \alpha_3 = (1,3,t)$

我们要研究它们的线性相关性，并回答以下三个问题。

(1) 当 $ t $ 为何值时，向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性无关？

解题思路：

三个向量在 $ \mathbb{R}^3 $ 中线性无关，当且仅当它们构成的矩阵的行列式不为零。

我们构造一个以这三个向量为列（或行）的矩阵，计算其行列式。

设矩阵 $ A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) $，即列向量构成的矩阵：

$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 3 \\1 & 3 & t\end{pmatrix}$

计算行列式 $ \det(A) $：

$\det(A) = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 3 \\1 & 3 & t\end{vmatrix}$

我们用展开法或行变换来计算。

使用按第一行展开：

$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 & t\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & t\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{vmatrix}$

分别计算：

• $ \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 3 & t\end{vmatrix} = 2t - 9 $
• $ \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & t\end{vmatrix} = t - 3 $
• $ \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 $

代入：

$\det(A) = 1 \cdot (2t - 9) - 1 \cdot (t - 3) + 1 \cdot 1 = (2t - 9) - (t - 3) + 1$

$= 2t - 9 - t + 3 + 1 = t - 5$

所以，行列式为：

$\det(A) = t - 5$

当 $ \det(A) \ne 0 $ 时，向量组线性无关，即：

$t - 5 \ne 0 \Rightarrow t \ne 5$

答：(1) 当 $ t \ne 5 $ 时，向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性无关。

(2) 当 $ t $ 为何值时，向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性相关？

根据上面的结论，行列式为零时线性相关：

$\det(A) = t - 5 = 0 \Rightarrow t = 5$

答：(2) 当 $ t = 5 $ 时，向量组线性相关。

(3) 当向量组线性相关时，将 $ \alpha_3 $ 表示为 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $ 的线性组合

由 (2) 可知，当 $ t = 5 $ 时，向量组线性相关，且此时 $ \alpha_3 = (1,3,5) $

由于三个向量线性相关，且前两个向量 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 是否线性无关？我们先验证一下。

检查 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 是否线性无关：

显然，$ \alpha_1 = (1,1,1), \alpha_2 = (1,2,3) $，不成比例，所以线性无关。

因此，当 $ t = 5 $ 时，$ \alpha_3 $ 可以被 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 线性表示。

设：

$\alpha_3 = x \alpha_1 + y \alpha_2$

即：

$(1,3,5) = x(1,1,1) + y(1,2,3) = (x + y, x + 2y, x + 3y)$

对应分量相等，得方程组：

$\begin{cases}x + y = 1 & \text{(1)}\\x + 2y = 3 & \text{(2)}\\x + 3y = 5 & \text{(3)}\end{cases}$

解这个方程组：

由 (1)：$ x = 1 - y $

代入 (2)：

$(1 - y) + 2y = 3 \Rightarrow 1 + y = 3 \Rightarrow y = 2$

代入得 $ x = 1 - 2 = -1 $

验证 (3)：$ x + 3y = -1 + 6 = 5 $，成立。

所以解为 $ x = -1, y = 2 $

因此：

$\alpha_3 = -1 \cdot \alpha_1 + 2 \cdot \alpha_2$

答：(3) 当向量组线性相关时（即 $ t = 5 $），有：

$\alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2$

最终答案总结：

(1) 当 $ t \ne 5 $ 时，向量组线性无关。
(2) 当 $ t = 5 $ 时，向量组线性相关。
(3) 当 $ t = 5 $ 时，$ \alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2 $

$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) } t \ne 5 \\&\text{(2) } t = 5 \\&\text{(3) } \alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2\end{aligned} }$