lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {x+1)-1}(x)= () ．

考查要点：本题主要考查函数极限的计算，特别是处理分子为根号表达式减常数的极限问题。关键在于有理化分子，通过代数变形消除根号，简化表达式后求极限。

解题核心思路：当分子为$\sqrt{x+1}-1$时，通过分子分母同乘以共轭表达式$\sqrt{x+1}+1$，利用平方差公式消去根号，将原式转化为可直接代入$x=0$的形式。

破题关键点：识别分子结构为“根号减常数”，选择有理化方法进行变形，避免直接代入导致“0/0”型不定式。

步骤1：有理化分子
将分子$\sqrt{x+1}-1$与分母$x$同时乘以共轭表达式$\sqrt{x+1}+1$：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} \\&= \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} \\&= \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}.\end{aligned}$

步骤2：约分简化
分子分母中的$x$约去（注意$x \neq 0$）：
$\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.$

步骤3：代入求极限
当$x \to 0$时，$\sqrt{x+1} \to 1$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.$