企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？A. 6B. 7C. 36D. 42

考查要点：本题主要考查排列组合中的整数划分问题，涉及不等式约束条件下的分配方式计数。

解题核心思路：

1. 确定乙的名额范围：根据条件乙比甲少但比丙多，且每个团队至少1个名额，可推断乙的名额数$k$必须满足$2 \leq k \leq 5$。
2. 分步计算可能性：对每个可能的$k$值，分别计算甲和丙的名额组合数，需满足甲$>k$且丙$
3. 累加所有情况：将各$k$值对应的分配方式数相加，得到最终答案。

破题关键点：

• 约束条件转化：将“乙比甲少，比丙多”转化为数学不等式，明确甲、乙、丙的名额关系。
• 枚举法应用：通过枚举乙的可能名额数，分情况讨论甲和丙的分配可能性。

步骤1：确定乙的名额范围

根据条件：

• 乙的名额$k$必须满足$2 \leq k \leq 5$（若$k \geq 6$，则甲至少为$7$，丙至少为$1$，总名额和超过$12$，矛盾）。

步骤2：分情况计算分配方式

当乙的名额$k=2$时

• 甲至少为$3$，丙至少为$1$且小于$2$，故丙只能为$1$。
• 甲的名额为$12 - 2 - 1 = 9$，符合条件。
• 分配方式数：$1$种。

当乙的名额$k=3$时

• 甲至少为$4$，丙至少为$1$且小于$3$，故丙可为$1$或$2$。
• 甲的名额分别为$12 - 3 - 1 = 8$和$12 - 3 - 2 = 7$，均符合条件。
• 分配方式数：$2$种。

当乙的名额$k=4$时

• 甲至少为$5$，丙至少为$1$且小于$4$，故丙可为$1$、$2$或$3$。
• 甲的名额分别为$12 - 4 - 1 = 7$，$12 - 4 - 2 = 6$，$12 - 4 - 3 = 5$，均符合条件。
• 分配方式数：$3$种。

当乙的名额$k=5$时

• 甲至少为$6$，丙至少为$1$且小于$5$，但甲需满足$12 - 5 - \text{丙} \geq 6$，即丙$\leq 1$。
• 丙只能为$1$，甲的名额为$12 - 5 - 1 = 6$，符合条件。
• 分配方式数：$1$种。

步骤3：累加所有情况

总分配方式数为：
$1 + 2 + 3 + 1 = 7.$