极限 lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是当自变量趋向于无穷大时，对数函数与反三角函数的渐进行为分析，以及等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 分子分析：当$x \rightarrow +\infty$时，$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$可展开为$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2x^2} + \cdots$，其主导项为$\dfrac{1}{x}$，因此分子整体趋向于$0$。
2. 分母分析：$\arctan x$当$x \rightarrow +\infty$时趋向于$\dfrac{\pi}{2}$，为一个常数。
3. 整体趋势：分子趋向于$0$，分母趋向于常数，因此分式整体趋向于$0$。

关键点：

• 等价无穷小替换：$\ln(1+\varepsilon) \sim \varepsilon$（当$\varepsilon \rightarrow 0$）。
• 避免误用洛必达法则：原式并非$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，直接代入即可判断极限。

步骤1：分析分子和分母的极限

• 分子：当$x \rightarrow +\infty$时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \sim \dfrac{1}{x}$。
• 分母：$\arctan x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$。

步骤2：代入等价无穷小并化简
原式可近似为：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{\pi x} = 0.$

结论：
通过分析分子和分母的渐进行为，直接得出极限值为$0$。