题目
3.曲线 (B) dfrac {pi )(3) (C) dfrac (pi )(4) (D) dfrac (pi )(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线方程
曲线方程为 $z=\sqrt {1+{x}^{2}+{y}^{2}}$，且 $x=1$，因此曲线可以表示为 $z=\sqrt {1+1+{y}^{2}}=\sqrt {2+{y}^{2}}$。
步骤 2：求导数
对 $z=\sqrt {2+{y}^{2}}$ 关于 $y$ 求导，得到 $z'=\dfrac {y}{\sqrt {2+{y}^{2}}}$。
步骤 3：计算切线斜率
在点 $(1,1,\sqrt {3})$ 处，$y=1$，因此切线斜率为 $z'=\dfrac {1}{\sqrt {2+1^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {3}}$。
步骤 4：计算切线与y轴正向所成的角度
切线斜率为 $\dfrac {1}{\sqrt {3}}$，即 $\tan \theta = \dfrac {1}{\sqrt {3}}$，因此 $\theta = \dfrac {\pi }{6}$。
曲线方程为 $z=\sqrt {1+{x}^{2}+{y}^{2}}$，且 $x=1$，因此曲线可以表示为 $z=\sqrt {1+1+{y}^{2}}=\sqrt {2+{y}^{2}}$。
步骤 2：求导数
对 $z=\sqrt {2+{y}^{2}}$ 关于 $y$ 求导，得到 $z'=\dfrac {y}{\sqrt {2+{y}^{2}}}$。
步骤 3：计算切线斜率
在点 $(1,1,\sqrt {3})$ 处，$y=1$，因此切线斜率为 $z'=\dfrac {1}{\sqrt {2+1^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {3}}$。
步骤 4：计算切线与y轴正向所成的角度
切线斜率为 $\dfrac {1}{\sqrt {3}}$，即 $\tan \theta = \dfrac {1}{\sqrt {3}}$，因此 $\theta = \dfrac {\pi }{6}$。