用n=4的复化梯形公式计算积分(int )_(1)^2dfrac (1)(x) dx，并估计误差。

考查要点：本题主要考查复化梯形公式的应用及其误差估计。
解题思路：

1. 确定区间划分：将积分区间$[1,2]$等分为$n=4$个子区间，计算步长$h$和各节点$x_i$。
2. 应用复化梯形公式：根据公式$T_n = \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n) \right]$计算近似值。
3. 误差分析：通过精确值与近似值的差值直接估计误差，或利用误差公式$E = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\eta)$（$\eta \in [a,b]$）进行理论估计。

关键点：

• 步长计算：$h = \frac{b-a}{n}$。
• 节点函数值的准确计算。
• 误差公式的应用需注意二阶导数的符号和范围。

步骤1：确定步长和节点

积分区间$[1,2]$，$n=4$，则步长为：
$h = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$
节点为：
$x_i = 1 + \frac{i}{4}, \quad i=0,1,2,3,4$
即$x_0=1, x_1=1.25, x_2=1.5, x_3=1.75, x_4=2$。

步骤2：计算函数值

$f(x) = \frac{1}{x}$，计算各节点处的函数值：
$\begin{aligned}f(x_0) &= 1, \\f(x_1) &= 0.8, \\f(x_2) &= \frac{2}{3} \approx 0.6667, \\f(x_3) &= \frac{4}{7} \approx 0.5714, \\f(x_4) &= 0.5.\end{aligned}$

步骤3：应用复化梯形公式

代入公式：
$\begin{aligned}T_4 &= \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\left(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right) + f(x_4) \right] \\&= \frac{1/4}{2} \left[ 1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5 \right] \\&= \frac{1}{8} \left[ 1 + 2 \times 2.0381 + 0.5 \right] \\&= \frac{1}{8} \times 5.5762 = 0.6970.\end{aligned}$

步骤4：误差估计

精确值为$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \ln 2 \approx 0.6931$，误差为：
$|\ln 2 - 0.6970| = |0.6931 - 0.6970| = 0.0039.$