题目
按以往概率考试的结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学习的的人？
按以往概率考试的结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学习的的人？
题目解答
答案
学生是努力学习且考试及格的概率为
，
学生是不努力学习且考试及格的概率为
，
则学生考试及格的全概率为
，
考试及格，则不努力学习的条件概率为
.
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为“学生努力学习”，事件B为“学生考试及格”。根据题目，P(A) = 0.8，P(B|A) = 0.9，P(B|A') = 0.1，其中A'表示“学生不努力学习”。
步骤 2：计算学生努力学习且考试及格的概率
学生努力学习且考试及格的概率为P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.9 = 0.72。
步骤 3：计算学生不努力学习且考试及格的概率
学生不努力学习且考试及格的概率为P(A'∩B) = P(A') * P(B|A') = (1 - 0.8) * 0.1 = 0.02。
步骤 4：计算学生考试及格的全概率
学生考试及格的全概率为P(B) = P(A∩B) + P(A'∩B) = 0.72 + 0.02 = 0.74。
步骤 5：计算考试及格的学生不努力学习的条件概率
考试及格的学生不努力学习的条件概率为P(A'|B) = P(A'∩B) / P(B) = 0.02 / 0.74 = 1/37。
设事件A为“学生努力学习”，事件B为“学生考试及格”。根据题目，P(A) = 0.8，P(B|A) = 0.9，P(B|A') = 0.1，其中A'表示“学生不努力学习”。
步骤 2：计算学生努力学习且考试及格的概率
学生努力学习且考试及格的概率为P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.9 = 0.72。
步骤 3：计算学生不努力学习且考试及格的概率
学生不努力学习且考试及格的概率为P(A'∩B) = P(A') * P(B|A') = (1 - 0.8) * 0.1 = 0.02。
步骤 4：计算学生考试及格的全概率
学生考试及格的全概率为P(B) = P(A∩B) + P(A'∩B) = 0.72 + 0.02 = 0.74。
步骤 5：计算考试及格的学生不努力学习的条件概率
考试及格的学生不努力学习的条件概率为P(A'|B) = P(A'∩B) / P(B) = 0.02 / 0.74 = 1/37。