题目
(44) int dfrac ({x)^3+1}({({x)^2+1)}^2}dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将被积函数分解
将被积函数 $\dfrac{{x}^{3}+1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 分解为两个部分，即 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 和 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$，这样可以分别对这两个部分进行积分。
步骤 2：对 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分
对 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分，可以使用换元法，令 $u = x^2 + 1$，则 $du = 2x dx$，从而 $\dfrac{1}{2}du = x dx$。将 $x^3$ 写成 $x^2 \cdot x$，则原式变为 $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{u-1}{u^2}du$，再进行积分。
步骤 3：对 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分
对 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分，可以使用三角代换法，令 $x = \tan \theta$，则 $dx = \sec^2 \theta d\theta$，从而原式变为 $\int \cos^2 \theta d\theta$，再进行积分。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终的积分结果。
将被积函数 $\dfrac{{x}^{3}+1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 分解为两个部分，即 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 和 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$，这样可以分别对这两个部分进行积分。
步骤 2：对 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分
对 $\dfrac{{x}^{3}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分，可以使用换元法，令 $u = x^2 + 1$，则 $du = 2x dx$，从而 $\dfrac{1}{2}du = x dx$。将 $x^3$ 写成 $x^2 \cdot x$，则原式变为 $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{u-1}{u^2}du$，再进行积分。
步骤 3：对 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分
对 $\dfrac{1}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$ 进行积分，可以使用三角代换法，令 $x = \tan \theta$，则 $dx = \sec^2 \theta d\theta$，从而原式变为 $\int \cos^2 \theta d\theta$，再进行积分。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终的积分结果。