设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列表达式不正确的是 _______。A. |AB| = |BA|B. |A^-1| = |A|^-1C. (A^top)^-1 = (A^-1)^topD. (AB)^-1 = A^-1B^-1

本题考查矩阵行列式和逆矩阵的性质，需判断四个选项中哪一个是错误的。解题核心在于掌握以下关键点：

1. 行列式的乘积性质：$|AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|$；
2. 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = |A|^{-1}$；
3. 转置与逆的交换性：$(A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top}$；
4. 矩阵乘积的逆矩阵：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（注意顺序反转）。

破题关键在于选项D的逆矩阵展开顺序是否正确。

选项分析

A. $|AB| = |BA|$

• 正确性：根据行列式的乘积性质，$|AB| = |A||B|$，而$|BA| = |B||A|$，由于标量乘法交换律，$|AB| = |BA|$成立。

B. $|A^{-1}| = |A|^{-1}$

• 正确性：由逆矩阵的行列式公式，$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$，显然成立。

C. $\left(A^{\top}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{\top}$

• 正确性：转置运算与逆运算可交换，即$(A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top}$，可通过$(A^{\top})(A^{-1})^{\top} = (A^{-1}A)^{\top} = I$验证。

D. $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$

• 错误性：矩阵乘积的逆矩阵应满足$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（顺序反转），而选项中顺序未反转，因此错误。