设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX^2+Y^2leq1= ( …...)A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (pi)/(8)D. (pi)/(4)

考查要点：本题主要考查几何概率的计算，涉及独立均匀分布随机变量的联合分布以及几何区域面积的求解。

解题核心思路：

1. 确定联合分布：由于$X$和$Y$独立且均服从$(0,1)$上的均匀分布，其联合密度函数在单位正方形$(0,1)\times(0,1)$内为常数$1$。
2. 几何意义转化：概率$P\{X^2 + Y^2 \leq 1\}$对应的是单位圆在第一象限的部分（即四分之一圆）与单位正方形的面积比。
3. 计算面积：四分之一圆的面积为$\frac{\pi}{4}$，单位正方形面积为$1$，因此概率即为$\frac{\pi}{4}$。

破题关键点：

• 独立性保证联合密度函数为乘积形式。
• 几何区域的识别：明确$X^2 + Y^2 \leq 1$在$(0,1)$范围内的实际形状是四分之一圆。

步骤1：确定联合密度函数
由于$X$和$Y$独立，联合密度函数为：
$f(x,y) = \begin{cases}1, & 0 < x < 1, \, 0 < y < 1, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$

步骤2：分析几何区域
条件$X^2 + Y^2 \leq 1$描述的是以原点为圆心、半径为$1$的圆。在$X$和$Y$均取值于$(0,1)$的限制下，实际满足条件的区域是第一象限内的四分之一圆。

步骤3：计算区域面积
四分之一圆的面积为：
$\text{面积} = \frac{1}{4} \times \pi \times 1^2 = \frac{\pi}{4}.$

步骤4：求概率
概率即为满足条件的区域面积与样本空间（单位正方形）面积的比值：
$P\{X^2 + Y^2 \leq 1\} = \frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}.$