设随机变量X的密度函数varphi(x)是连续的偶函数(即varphi(x)=varphi(-x)),而F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有()。A. F(a)=F(-a)B. F(-a)=1-int_(0)^avarphi(x)dxC. F(-a)=(1)/(2)-int_(0)^avarphi(x)dxD. F(-a)=F(a)

考查要点：本题主要考查概率密度函数的对称性（偶函数）与分布函数的关系，以及积分变换的应用。

解题核心思路：

1. 利用偶函数的性质：密度函数$\varphi(x)$为偶函数，即$\varphi(x) = \varphi(-x)$，因此随机变量$X$与$-X$具有相同的分布。
2. 分布函数的定义：分布函数$F(a) = \int_{-\infty}^a \varphi(t) \, dt$，需通过变量替换和积分区间的对称性推导$F(-a)$的表达式。
3. 关键结论：通过变量替换将$F(-a)$转换为正区间积分，并结合密度函数的归一化性质（$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) \, dt = 1$）进行化简。

破题关键点：

• 变量替换：将$F(-a)$的积分区间转换为正区间，利用偶函数性质简化计算。
• 积分拆分：将分布函数拆分为对称区间积分，结合归一化性质推导最终表达式。

步骤1：写出分布函数$F(-a)$的表达式
根据分布函数的定义：
$F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} \varphi(t) \, dt$

步骤2：变量替换
令$t = -u$，则当$t$从$-\infty$到$-a$时，$u$从$+\infty$到$a$，且$dt = -du$。代入得：
$F(-a) = \int_{+\infty}^{a} \varphi(-u) \cdot (-du) = \int_{a}^{+\infty} \varphi(u) \, du$

步骤3：利用归一化性质
由于$\varphi(x)$是概率密度函数，有$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u) \, du = 1$，因此：
$\int_{a}^{+\infty} \varphi(u) \, du = 1 - \int_{-\infty}^{a} \varphi(u) \, du = 1 - F(a)$

步骤4：表达$F(a)$的对称性
根据偶函数的对称性，$\int_{-\infty}^0 \varphi(u) \, du = \frac{1}{2}$，因此：
$F(a) = \int_{-\infty}^a \varphi(u) \, du = \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(u) \, du$

步骤5：代入并化简
将$F(a)$代入$F(-a)$的表达式：
$F(-a) = 1 - F(a) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_{0}^{a} \varphi(u) \, du \right) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} \varphi(u) \, du$