设二维随机变量的联合分布列为（1）已知，求a，b；（2）求X，Y的边缘分布；（3）判断X和Y是否相互独立.

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布及独立性的判断。
解题思路：

1. 归一性：利用联合分布的总概率为1，建立方程求解未知参数。
2. 对角线概率：根据$P(X=Y)$的条件，进一步联立方程求解参数。
3. 边缘分布：对联合分布表按行或列求和，得到单变量的分布。
4. 独立性判断：验证$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$是否对所有$i,j$成立。

第（1）题

步骤1：利用归一性求$a+b$

联合分布总概率为1：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + a + b + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = 1$
化简得：
$a + b = \frac{1}{3}$

步骤2：利用$P(X=Y)=\frac{11}{18}$求$b$

对角线概率之和：
$\frac{1}{3} + b + \frac{1}{9} = \frac{11}{18}$
解得：
$b = \frac{1}{6}$
代入$a + b = \frac{1}{3}$，得：
$a = \frac{1}{6}$

第（2）题

X的边缘分布

• $P(X=0) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$
• $P(X=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{3}$
• $P(X=2) = 0 + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

Y的边缘分布

• $P(Y=0) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{2}$
• $P(Y=1) = 0 + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18}$
• $P(Y=2) = \frac{1}{9} + 0 + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

第（3）题

判断独立性：
例如，$P(X=0,Y=0)=\frac{1}{3}$，而$P(X=0)P(Y=0)=\frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9} \neq \frac{1}{3}$，因此$X$与$Y$不独立。