题目

设二维随机变量的联合分布列为（1）已知，求a，b；（2）求X，Y的边缘分布；（3）判断X和Y是否相互独立.

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为

（1）已知 $P(X=Y)=\frac{11}{18}$ ，求a，b；

（2）求X，Y的边缘分布；

（3）判断X和Y是否相互独立.

题目解答

答案

（1）二维离散型随机变量分布律的归一性，即 $\sum_{i=0}^2\sum_{j=0}^2P\left(X=i,Y=j\right)=1$ ，则 $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+a+b+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=1$ ，则 $a+b=\frac{1}{3}$ ， $P(X=Y)=P\left(X=0,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=\frac{1}{3}+b+\frac{1}{9}=\frac{11}{18}$ ，则 $b=\frac{3}{18}$ ，则 $a=\frac{3}{18}$ ；

（2）X的边缘分布律为 $P\left(X=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)+P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=0,Y=2\right)$ $=\frac{1}{3}+0+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$ ， $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$ $=\frac{3}{18}+\frac{3}{18}+0=\frac{1}{3}$ ， $P\left(X=2\right)=P\left(X=2,Y=0\right)+P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=0+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$ ，即 $X\sim\begin{pmatrix} 0& 1&2 \newline \frac{4}{9}&\frac{1}{3}& \frac{2}{9} \end{pmatrix}$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=0\right)+P\left(X=2,Y=0\right)$ $=\frac{1}{3}+\frac{3}{18}+0=\frac{1}{2}$ ， $P\left(Y=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=0+\frac{3}{18}+\frac{1}{9}=\frac{5}{18}$ ， $P\left(Y=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=\frac{1}{9}+0+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$ ，即 $Y\sim\begin{pmatrix} 0&1&2 \newline \frac{1}{2}& \frac{5}{18}& \frac{2}{9} \end{pmatrix}$ ；

（3） $P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=\frac{4}{9}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{9}\ne P\left(X=0,Y=0\right)$ ，则X与Y不相互独立.