已知 dfrac ((x+ay)dx+ydy)({(x+y))^2} 为某函数的全微分,则 a 等-|||-于 () .-|||-(A) -1. (B)0. (C)1. (D)2.

步骤 1：确定全微分条件
全微分条件要求微分形式 $\dfrac {(x+ay)dx+ydy}{{(x+y)}^{2}}$ 的偏导数满足 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$，其中 $P(x,y)=\dfrac {x+ay}{{(x+y)}^{2}}$，$Q(x,y)=\dfrac {y}{{(x+y)}^{2}}$。

步骤 2：计算偏导数
计算 $P(x,y)$ 关于 $y$ 的偏导数 $\dfrac {\partial P}{\partial y}$ 和 $Q(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导数 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。
$$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial}{\partial y}\left(\dfrac {x+ay}{{(x+y)}^{2}}\right)=\dfrac {a{(x+y)}^{2}-2y(x+ay)}{{(x+y)}^{4}}=\dfrac {a{(x+y)}^{2}-2xy-2ay^{2}}{{(x+y)}^{4}}$$
$$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial}{\partial x}\left(\dfrac {y}{{(x+y)}^{2}}\right)=\dfrac {-2y(x+y)}{{(x+y)}^{4}}=\dfrac {-2xy-2y^{2}}{{(x+y)}^{4}}$$

步骤 3：解方程
根据全微分条件，令 $\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$，即
$$\dfrac {a{(x+y)}^{2}-2xy-2ay^{2}}{{(x+y)}^{4}}=\dfrac {-2xy-2y^{2}}{{(x+y)}^{4}}$$
化简得
$$a{(x+y)}^{2}-2xy-2ay^{2}=-2xy-2y^{2}$$
$$a{(x+y)}^{2}-2ay^{2}=-2y^{2}$$
$$a{(x+y)}^{2}=2ay^{2}-2y^{2}$$
$$a{(x+y)}^{2}=2y^{2}(a-1)$$
由于上式对所有 $x$ 和 $y$ 都成立，因此 $a=2$。