题目

设A，B为n阶方阵，k为实数，则以下选项不一定正确的是（ ）A、 (({A)^T)}^T'=AA、 (({A)^T)}^T'=AA、 (({A)^T)}^T'=AA、 (({A)^T)}^T'=A

      设A，B为n阶方阵，k为实数，则以下选项不一定正确的是（   ）

题目解答

答案

      根据矩阵转置的性质，可以知道：

矩阵的转置的转置等于矩阵本身，即；两个矩阵和的转置等于两个矩阵转置的和，即；数乘矩阵的转置等于常数乘以矩阵的转置，即；两矩阵乘积的转置等于交换位置后矩阵转置的乘积，即，故选D。

解析

本题考查矩阵转置的运算性质，需掌握以下核心知识点：

  1. 转置的转置等于原矩阵；
  2. 矩阵加法的转置等于转置后的矩阵相加；
  3. 数乘矩阵的转置等于数乘转置后的矩阵；
  4. 矩阵乘积的转置等于转置后交换顺序相乘。

破题关键在于选项D的乘积转置顺序是否颠倒，需特别注意矩阵乘法不满足交换律。

选项分析

A、$(A^T)^T = A$

  • 矩阵转置的性质：对矩阵转置两次后，结果等于原矩阵。
  • 结论：正确。

B、$(A+B)^T = A^T + B^T$

  • 矩阵加法的转置性质：两个矩阵相加后再转置，等于各自转置后再相加。
  • 结论：正确。

C、$(kA)^T = kA^T$

  • 数乘矩阵的转置性质：数乘矩阵后再转置，等于转置后用同一数乘。
  • 结论：正确。

D、$(AB)^T = A^T B^T$

  • 矩阵乘积的转置性质：正确形式应为$(AB)^T = B^T A^T$，即转置后交换乘法顺序。
  • 错误原因：选项D未交换顺序，导致结果错误。
  • 结论：不一定正确。