【例6】(2020四川公务员)某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃?A. 3B. 4C. 5D. 6

考查要点：本题主要考查不定方程的应用及整数解的条件分析，需要结合同余方程的性质进行求解。

解题核心思路：

1. 目标最大化：要求丙品种（单价33元/盒）的盒数最多，需尽可能多地分配预算给丙，剩余金额由甲（28元/盒）和乙（32元/盒）的组合构成。
2. 整数约束：总金额400元必须严格分配为三种樱桃的整数盒数之和。
3. 同余分析：通过分析方程两边的整除性，确定丙的盒数必须满足的条件，缩小可能的取值范围。

破题关键点：

• 余数性质：利用28和32均为4的倍数，推导出剩余金额（400−33z）也必须是4的倍数，从而确定z的取值规律。
• 试值验证：在满足余数条件的前提下，尝试最大可能的z值，并验证是否存在非负整数解。

设购买甲、乙、丙三种樱桃的盒数分别为$x$、$y$、$z$，根据题意列方程：
$28x + 32y + 33z = 400$
目标是最大化$z$。

步骤1：分析整除性

• 28和32均为4的倍数，因此$28x + 32y$必然是4的倍数。
• 总金额400是4的倍数，故$33z$也必须是4的倍数。
• 由于$33 \div 4 = 8 \text{余}1$，可得$33z \div 4$的余数为$z \div 4$的余数。
• 结论：$z$必须是4的倍数。

步骤2：尝试最大可能的$z$值

• 尝试$z=4$：
  $28x + 32y = 400 - 33 \times 4 = 268$
  两边除以4得：
  $7x + 8y = 67$
  验证解的存在性：

  • 当$y=4$时，$7x = 67 - 8 \times 4 = 35$，解得$x=5$，满足条件。
    结论：$z=4$可行。

• 尝试$z=8$：
  $28x + 32y = 400 - 33 \times 8 = 136$
  两边除以4得：
  $7x + 8y = 34$
  验证解的存在性：

  • 尝试$y=0$到$y=4$，均无法使$x$为整数。
    结论：$z=8$无解。

步骤3：确定最大值

通过验证可知，$z=4$是满足条件的最大值。