题目
(int )_(L)((x)^2-y)dx-(x+(sin )^2y)dy, 其中L是在圆周 =sqrt (2x-{x)^2} 上由点-|||-(0,0)到点(1,1)的一段弧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
题目中给出的积分路径L是圆周 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。为了简化计算，我们可以将原积分路径L改为折线路径ORN，其中O为(0,0)，R为(1,0)，N为(1,1)。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表明，对于一个闭合路径L，如果函数P和Q在L所围成的区域内具有一阶连续偏导数，那么有
$$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
其中D是L所围成的区域。但是，由于题目中的积分路径不是闭合的，我们不能直接应用格林公式。因此，我们选择将原积分路径L改为折线路径ORN，这样就可以将原积分分解为两部分，分别计算。
步骤 3：计算积分
将原积分路径L改为折线路径ORN，其中O为(0,0)，R为(1,0)，N为(1,1)。于是，原积分可以分解为两部分，分别计算：
$$\int_{L} ({x}^{2}-y)dx-(x+{\sin }^{2}y)dy = \int_{0}^{1} ({x}^{2}-0)dx - \int_{0}^{1} (1+{\sin }^{2}y)dy$$
$$=\int_{0}^{1} {x}^{2}dx - \int_{0}^{1} (1+{\sin }^{2}y)dy$$
$$=\int_{0}^{1} {x}^{2}dx - \int_{0}^{1} (1+\frac{1-\cos 2y}{2})dy$$
$$=\frac{1}{3} - 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sin 2$$
$$=-\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sin 2$$
$$=-\frac{7}{6} + \frac{1}{4}\sin 2$$
题目中给出的积分路径L是圆周 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。为了简化计算，我们可以将原积分路径L改为折线路径ORN，其中O为(0,0)，R为(1,0)，N为(1,1)。
步骤 2：应用格林公式
格林公式表明，对于一个闭合路径L，如果函数P和Q在L所围成的区域内具有一阶连续偏导数，那么有
$$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
其中D是L所围成的区域。但是，由于题目中的积分路径不是闭合的，我们不能直接应用格林公式。因此，我们选择将原积分路径L改为折线路径ORN，这样就可以将原积分分解为两部分，分别计算。
步骤 3：计算积分
将原积分路径L改为折线路径ORN，其中O为(0,0)，R为(1,0)，N为(1,1)。于是，原积分可以分解为两部分，分别计算：
$$\int_{L} ({x}^{2}-y)dx-(x+{\sin }^{2}y)dy = \int_{0}^{1} ({x}^{2}-0)dx - \int_{0}^{1} (1+{\sin }^{2}y)dy$$
$$=\int_{0}^{1} {x}^{2}dx - \int_{0}^{1} (1+{\sin }^{2}y)dy$$
$$=\int_{0}^{1} {x}^{2}dx - \int_{0}^{1} (1+\frac{1-\cos 2y}{2})dy$$
$$=\frac{1}{3} - 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sin 2$$
$$=-\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\sin 2$$
$$=-\frac{7}{6} + \frac{1}{4}\sin 2$$