题目
6.计算曲线积分 (int )_(r)^(x^2y)ds, 其中T为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为-|||-点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定折线ABCD的参数方程
- 折线ABCD由三段直线组成：AB, BC, CD。
- AB段：从点A(0,0,0)到点B(0,0,2)，参数方程为$x=0$，$y=0$，$z=t$，其中$0\leqslant t\leqslant 2$。
- BC段：从点B(0,0,2)到点C(1,0,2)，参数方程为$x=t$，$y=0$，$z=2$，其中$0\leqslant t\leqslant 1$。
- CD段：从点C(1,0,2)到点D(1,3,2)，参数方程为$x=1$，$y=t$，$z=2$，其中$0\leqslant t\leqslant 3$。
步骤 2：计算每段直线的微分弧长$ds$
- AB段：$ds=\sqrt{0^2+0^2+1^2}dt=dt$。
- BC段：$ds=\sqrt{1^2+0^2+0^2}dt=dt$。
- CD段：$ds=\sqrt{0^2+1^2+0^2}dt=dt$。
步骤 3：计算每段直线的曲线积分
- AB段：${\int }_{0}^{2}yzds={\int }_{0}^{2}0\cdot t\cdot dt=0$。
- BC段：${\int }_{0}^{1}yzds={\int }_{0}^{1}0\cdot 2\cdot dt=0$。
- CD段：${\int }_{0}^{3}yzds={\int }_{0}^{3}1\cdot t\cdot 2dt=2{\int }_{0}^{3}tdt=2\left[\frac{1}{2}t^2\right]_{0}^{3}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot(3^2-0^2)=9$。
步骤 4：将每段直线的曲线积分相加
- 原式$={\int }_{0}^{2}0dt+{\int }_{0}^{1}0dt+{\int }_{0}^{3}1\cdot t\cdot 2dt=0+0+9=9$。
- 折线ABCD由三段直线组成：AB, BC, CD。
- AB段：从点A(0,0,0)到点B(0,0,2)，参数方程为$x=0$，$y=0$，$z=t$，其中$0\leqslant t\leqslant 2$。
- BC段：从点B(0,0,2)到点C(1,0,2)，参数方程为$x=t$，$y=0$，$z=2$，其中$0\leqslant t\leqslant 1$。
- CD段：从点C(1,0,2)到点D(1,3,2)，参数方程为$x=1$，$y=t$，$z=2$，其中$0\leqslant t\leqslant 3$。
步骤 2：计算每段直线的微分弧长$ds$
- AB段：$ds=\sqrt{0^2+0^2+1^2}dt=dt$。
- BC段：$ds=\sqrt{1^2+0^2+0^2}dt=dt$。
- CD段：$ds=\sqrt{0^2+1^2+0^2}dt=dt$。
步骤 3：计算每段直线的曲线积分
- AB段：${\int }_{0}^{2}yzds={\int }_{0}^{2}0\cdot t\cdot dt=0$。
- BC段：${\int }_{0}^{1}yzds={\int }_{0}^{1}0\cdot 2\cdot dt=0$。
- CD段：${\int }_{0}^{3}yzds={\int }_{0}^{3}1\cdot t\cdot 2dt=2{\int }_{0}^{3}tdt=2\left[\frac{1}{2}t^2\right]_{0}^{3}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot(3^2-0^2)=9$。
步骤 4：将每段直线的曲线积分相加
- 原式$={\int }_{0}^{2}0dt+{\int }_{0}^{1}0dt+{\int }_{0}^{3}1\cdot t\cdot 2dt=0+0+9=9$。