题目
设A为n阶方阵，r A. =r< n，则A的n个列向量中______A. 任意r个列向量线性无关B. 必有某r个列向量线性无关C. 任意r个列向量都构成一个极大线性无关组D. 任意一个列向量可由其余n-1个向量线性表示
设$A$为$n$阶方阵，$r
- A. =r< n$，则$A$的$n$个列向量中______
- A. 任意$r$个列向量线性无关
- B. 必有某$r$个列向量线性无关
- C. 任意$r$个列向量都构成一个极大线性无关组
- D. 任意一个列向量可由其余$n-1$个向量线性表示
题目解答
答案
为了确定正确答案，我们需要理解矩阵的秩与矩阵列向量之间的关系。矩阵的秩，记为 $ r(A) $，是矩阵线性无关列向量的最大数量。已知 $ r(A) = r < n $，这意味着在 $ A $ 的 $ n $ 个列向量中，恰好有 $ r $ 个线性无关的向量。
让我们分析每个选项：
A. 任意 $ r $ 个列向量线性无关
这个陈述不正确。虽然存在 $ r $ 个线性无关的列向量，但并非任意 $ r $ 个列向量都是线性无关的。例如，如果一个列向量是另一个列向量的倍数，那么这两个向量是线性相关的。
B. 必有某 $ r $ 个列向量线性无关
这个陈述是正确的。由于矩阵的秩是 $ r $，在 $ A $ 的 $ n $ 个列向量中，至少存在一组 $ r $ 个线性无关的向量。
C. 任意 $ r $ 个列向量都构成一个极大线性无关组
这个陈述不正确。正如选项A中所述，任意 $ r $ 个列向量不一定是线性无关的。因此，它们不一定构成一个极大线性无关组。
D. 任意一个列向量可由其余 $ n-1 $ 个向量线性表示
这个陈述不正确。由于秩是 $ r < n $，只有 $ n-r $ 个列向量可以由其他列向量线性表示。剩下的 $ r $ 个线性无关的列向量不能由其他列向量线性表示。
根据分析，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的秩与列向量线性相关性的关系，重点在于理解极大线性无关组的概念及其性质。
解题核心思路：
- 秩的定义：矩阵的秩是其列向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
- 极大线性无关组的性质：存在性（必存在这样的组）、非唯一性（可能存在多组）、以及无法被扩展性（无法添加更多向量保持无关性）。
- 关键矛盾点：选项中涉及“任意”和“存在”的区别，需注意存在性与任意性的差异。
破题关键：
- 明确秩为$r$意味着存在$r$个线性无关的列向量，但并非所有$r$个向量都无关。
- 排除法分析选项，重点关注选项中是否隐含“任意$r$个向量必然无关”或“所有极大组必须包含所有可能的$r$个向量”。
选项分析
选项A：任意$r$个列向量线性无关
- 错误。若存在$r$个线性无关的列向量，但其他列向量可能与其中某些向量相关。例如，若某列是另一列的倍数，则任意包含这两列的$r$个向量可能线性相关。
选项B：必有某$r$个列向量线性无关
- 正确。根据秩的定义，秩$r$意味着存在至少一组$r$个线性无关的列向量，这是极大线性无关组的必要条件。
选项C：任意$r$个列向量都构成一个极大线性无关组
- 错误。极大线性无关组要求本身线性无关且能表示所有列向量。若任意$r$个向量中存在相关性，则无法构成极大组。
选项D：任意一个列向量可由其余$n-1$个向量线性表示
- 错误。秩为$r$时，仅存在$n-r$个列向量可被极大线性无关组表示，而极大组中的$r$个向量本身无法被其他向量表示。