判断题（共20题，100.0分）38. (5.0分)int1/x dx=ln|x|+C对所有x≠0成立。A 对B 错

为了判断陈述 $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ 对所有 $x \neq 0$ 是否成立，我们需要分析函数 $\frac{1}{x}$ 的积分以及绝对值在对数中的必要性。 1. **理解函数和积分：** 函数 $\frac{1}{x}$ 对于所有 $x \neq 0$ 都有定义。这意味着函数在两个区间内有定义：$(-\infty, 0)$ 和 $(0, \infty)$。 2. **在 $(0, \infty)$ 上的积分：** 对于 $x > 0$，函数 $\frac{1}{x}$ 的积分是 $\ln x + C$。这是因为自然对数函数 $\ln x$ 对于正数 $x$ 有定义，且其导数是 $\frac{1}{x}$。 3. **在 $(- \infty, 0)$ 上的积分：** 对于 $x < 0$，函数 $\frac{1}{x}$ 的积分是 $\ln(-x) + C$。这是因为 $-x$ 是正数，自然对数 $\ln(-x)$ 有定义，且其导数是 $\frac{1}{x}$（通过链式法则）。 4. **使用绝对值结合结果：** 为了将这两个结果合并为一个表达式，我们使用绝对值函数。表达式 $\ln|x|$ 覆盖了 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的两种情况： - 如果 $x > 0$，则 $|x| = x$，所以 $\ln|x| = \ln x$。 - 如果 $x < 0$，则 $|x| = -x$，所以 $\ln|x| = \ln(-x)$。 因此，$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ 对于所有 $x \neq 0$ 都成立。 5. **结论：** 陈述 $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ 对所有 $x \neq 0$ 是正确的。 答案是 $\boxed{A}$。