题目

填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。36. (2.0分) 如果f(x)在点x_(0)处可导，则lim_(hto0)(f(x_(0)+2h)-f(x_(0)))/(h)=( )

填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。 36. (2.0分) 如果f(x)在点$x_{0}$处可导，则 $\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+2h)-f(x_{0})}{h}=( )$

题目解答

答案

根据导数定义，有 \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}. \] 令 $\Delta x = 2h$，则 \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h} = 2f'(x_0). \] 或者，设 $g(h) = f(x_0 + 2h)$，则 \[ g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = 2f'(x_0). \] 答案：$\boxed{2f'(x_0)}$

解析

本题考查导数的定义及其变量替换的应用。关键在于理解导数定义中的增量形式，并通过调整变量将题目中的表达式转化为标准导数形式。需要特别注意分母中的增量与分子中的增量保持一致，通过代数变形提取系数，从而得到正确结果。

根据导数的定义：
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$

变量替换：令 $\Delta x = 2h$，则当 $h \to 0$ 时，$\Delta x \to 0$。原式可变形为：
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x / 2} = 2 \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = 2f'(x_0).$

关键步骤：通过将 $2h$ 视为 $\Delta x$，将原式中的分母 $h$ 转换为 $\Delta x / 2$，从而提取系数 $2$，最终得到结果。