题目
E-|||-c-|||-A B-|||-下正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为 ____ ．
正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为 ____ ．题目解答
答案
解：由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为$\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}$，高为$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
则其体积为$\frac{2×2×\sqrt{2}}{3}×2=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
其表面积为$8×\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=8\sqrt{3}$，
所以此正八面体的体积与表面积之比为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
则其体积为$\frac{2×2×\sqrt{2}}{3}×2=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
其表面积为$8×\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=8\sqrt{3}$，
所以此正八面体的体积与表面积之比为$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
解析
步骤 1：计算正八面体的斜高和高
正八面体由两个底面为正方形的正四面体组成，每个正四面体的底面边长为2。正四面体的斜高（即底面中心到顶点的距离）可以通过勾股定理计算得出，即$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。正四面体的高（即底面中心到对面顶点的距离）同样通过勾股定理计算得出，即$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。
步骤 2：计算正八面体的体积
正八面体的体积等于两个正四面体的体积之和。每个正四面体的体积为$\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。因此，正八面体的体积为$2×\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
步骤 3：计算正八面体的表面积
正八面体的表面积等于8个等边三角形的面积之和。每个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×边长^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$。因此，正八面体的表面积为$8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
步骤 4：计算体积与表面积之比
正八面体的体积与表面积之比为$\frac{体积}{表面积}=\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$。
正八面体由两个底面为正方形的正四面体组成，每个正四面体的底面边长为2。正四面体的斜高（即底面中心到顶点的距离）可以通过勾股定理计算得出，即$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。正四面体的高（即底面中心到对面顶点的距离）同样通过勾股定理计算得出，即$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$。
步骤 2：计算正八面体的体积
正八面体的体积等于两个正四面体的体积之和。每个正四面体的体积为$\frac{1}{3}×底面积×高=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。因此，正八面体的体积为$2×\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
步骤 3：计算正八面体的表面积
正八面体的表面积等于8个等边三角形的面积之和。每个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×边长^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\sqrt{3}$。因此，正八面体的表面积为$8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
步骤 4：计算体积与表面积之比
正八面体的体积与表面积之比为$\frac{体积}{表面积}=\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$。