题目
5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子,其振-|||-幅 =2.0times (10)^-2m, 周期 =0.5s, 当 t=0 时,则:-|||-(1)物体在正方向端点;-|||-(2)物体在平衡位置,向负方向运动;-|||-(3)物体在 =1.0times (10)^-2m 处,向负方向运动;-|||-(4)物体在 =-1.0times (10)^-2m 处,向负方向运动.-|||-求以上各种情况的振动方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动方程的一般形式
振动方程的一般形式为 $x=A\cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相位。角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 计算得到，即 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。
步骤 2：计算角频率 $\omega$
已知周期 $T=0.5s$，则角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$ rad/s。
步骤 3：确定初相位 $\varphi$
根据题目中给出的初始条件，分别确定初相位 $\varphi$ 的值。
(1) 当物体在正方向端点时，$x=A$，此时 $\cos(\varphi) = 1$，所以 $\varphi = 0$。
(2) 当物体在平衡位置，向负方向运动时，$x=0$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = 0$，$\sin(\varphi) = -1$，所以 $\varphi = \frac{\pi}{2}$。
(3) 当物体在 $x=1.0\times {10}^{-2}m$ 处，向负方向运动时，$x=\frac{A}{2}$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$，$\sin(\varphi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$。
(4) 当物体在 $x=-1.0\times {10}^{-2}m$ 处，向负方向运动时，$x=-\frac{A}{2}$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = -\frac{1}{2}$，$\sin(\varphi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\varphi = \frac{2\pi}{3}$。
振动方程的一般形式为 $x=A\cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相位。角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 计算得到，即 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。
步骤 2：计算角频率 $\omega$
已知周期 $T=0.5s$，则角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$ rad/s。
步骤 3：确定初相位 $\varphi$
根据题目中给出的初始条件，分别确定初相位 $\varphi$ 的值。
(1) 当物体在正方向端点时，$x=A$，此时 $\cos(\varphi) = 1$，所以 $\varphi = 0$。
(2) 当物体在平衡位置，向负方向运动时，$x=0$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = 0$，$\sin(\varphi) = -1$，所以 $\varphi = \frac{\pi}{2}$。
(3) 当物体在 $x=1.0\times {10}^{-2}m$ 处，向负方向运动时，$x=\frac{A}{2}$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$，$\sin(\varphi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$。
(4) 当物体在 $x=-1.0\times {10}^{-2}m$ 处，向负方向运动时，$x=-\frac{A}{2}$，且速度为负，此时 $\cos(\varphi) = -\frac{1}{2}$，$\sin(\varphi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\varphi = \frac{2\pi}{3}$。