题目

设函数 f(x)=sin(omega x)+cos(omega x)(omega>0)，若 f(x+pi)=f(x) 恒成立，且 f(x) 在 [0,(pi)/(4)] 上存在零点，则 omega 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 3

设函数 $f(x)=\sin(\omega x)+\cos(\omega x)(\omega>0)$，若 $f(x+\pi)=f(x)$ 恒成立，且 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点，则 $\omega$ 的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3

题目解答

答案

我们来一步步分析并解决这道题。 --- ### **题目分析：** 函数定义为： $$ f(x) = \sin(\omega x) + \cos(\omega x) $$ 已知： 1. $ f(x + \pi) = f(x) $ 恒成立，说明函数 $ f(x) $ 是以 $ \pi $ 为周期的函数。 2. $ f(x) $ 在区间 $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 上有零点。 3. $ \omega > 0 $，求 $ \omega $ 的**最小值**。 --- ### **第一步：分析函数的周期性** 函数 $ f(x) = \sin(\omega x) + \cos(\omega x) $ 是两个三角函数的和，其周期与 $ \omega $ 有关。 我们先考虑函数的周期性： - $ \sin(\omega x) $ 的周期是 $ \frac{2\pi}{\omega} $ - $ \cos(\omega x) $ 的周期也是 $ \frac{2\pi}{\omega} $ 所以 $ f(x) $ 的周期也是 $ \frac{2\pi}{\omega} $ 但是题目说： $$ f(x + \pi) = f(x) $$ 说明函数 $ f(x) $ 的周期是 $ \pi $，即： $$ \frac{2\pi}{\omega} = \pi \Rightarrow \omega = 2 $$ 但是这个结果**不一定正确**，因为函数的周期可能是 $ \pi $ 的整数倍。 --- ### **第二步：函数周期性更精确的分析** 设函数的周期为 $ T $，则： $$ f(x + T) = f(x) $$ 因为 $ f(x + \pi) = f(x) $，所以 $ \pi $ 是 $ f(x) $ 的一个周期。 我们要求的是：**最小的正周期**，即 $ T = \frac{2\pi}{\omega} $，而 $ \pi $ 是周期，所以： $$ \frac{2\pi}{\omega} \mid \pi \Rightarrow \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{n} \text{，其中 } n \in \mathbb{Z}^+ $$ 两边同时乘以 $ \omega $，得到： $$ 2\pi = \frac{\pi \omega}{n} \Rightarrow \omega = 2n $$ 所以 $ \omega $ 是偶数。 --- ### **第三步：函数在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上有零点** 我们要求 $ f(x) = \sin(\omega x) + \cos(\omega x) $ 在区间 $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 上有零点。 即存在某个 $ x_0 \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $，使得： $$ \sin(\omega x_0) + \cos(\omega x_0) = 0 $$ 我们设 $ y = \omega x $，那么 $ x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \Rightarrow y \in \left[0, \frac{\omega \pi}{4}\right] $ 于是问题转化为：在区间 $ \left[0, \frac{\omega \pi}{4}\right] $ 上，是否存在 $ y $ 使得： $$ \sin y + \cos y = 0 $$ 即： $$ \sin y = -\cos y \Rightarrow \tan y = -1 $$ 我们解这个方程： $$ \tan y = -1 \Rightarrow y = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} $$ 我们找一个正数 $ y $ 满足这个条件，并且在区间 $ \left[0, \frac{\omega \pi}{4}\right] $ 内。 最小的正解是： $$ y = \frac{3\pi}{4} $$ 所以： $$ \frac{\omega \pi}{4} \geq \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \omega \geq 3 $$ --- ### **第四步：结合前面的条件** 前面我们得出： - $ \omega = 2n $，即 $ \omega $ 是偶数 - $ \omega \geq 3 $ 所以满足条件的最小偶数是： $$ \omega = 4 $$ --- ### **第五步：验证 $ \omega = 4 $ 是否满足所有条件** 1. **周期性：** $$ f(x) = \sin(4x) + \cos(4x) $$ 周期是： $$ T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ 所以 $ f(x + \pi) = f(x) $ 显然成立，因为 $ \pi $ 是周期的整数倍。 2. **零点：** 我们看是否在 $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 上有零点。 设 $ f(x) = \sin(4x) + \cos(4x) = 0 $ 令 $ y = 4x \Rightarrow x = \frac{y}{4} $ 区间 $ x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \Rightarrow y \in [0, \pi] $ 我们看 $ \sin y + \cos y = 0 \Rightarrow y = \frac{3\pi}{4} \in [0, \pi] $ 所以存在零点。 --- ### **最终答案：** $$ \boxed{\omega = 4} $$ --- ### **选项对照：** A. 8 B. 6 C. 4 ✅ D. 3 --- ### ✅ **答案：C. 4**

解析

考查要点：本题主要考查三角函数的周期性及零点存在性，需要结合周期条件和零点条件确定参数的最小值。

解题思路：

  1. 周期性分析：由$f(x+\pi)=f(x)$可知$f(x)$的周期为$\pi$，结合$\sin(\omega x)$和$\cos(\omega x)$的基本周期，推导$\omega$的可能取值。
  2. 零点条件：将$f(x)=0$转化为$\tan(\omega x)=-1$，分析解的存在性，确定$\omega$的下限。
  3. 综合条件：结合周期性和零点条件，找到满足最小值的$\omega$。

破题关键：

  • 周期性推导：$\omega$必须为偶数。
  • 零点存在性：$\omega \geq 3$，结合偶数条件得最小值为4。

周期性分析

函数$f(x)=\sin(\omega x)+\cos(\omega x)$的周期为$\frac{2\pi}{\omega}$。
由$f(x+\pi)=f(x)$可知，$\pi$是$f(x)$的周期，因此$\frac{2\pi}{\omega}$必须是$\pi$的约数，即：
$\frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{n} \quad (n \in \mathbb{Z}^+)$
解得$\omega = 2n$，即$\omega$为偶数。

零点存在性分析

$f(x)=0$等价于$\sin(\omega x) + \cos(\omega x) = 0$，即：
$\tan(\omega x) = -1 \quad \Rightarrow \quad \omega x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
在区间$x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$内，需满足：
$\omega \cdot \frac{\pi}{4} \geq \frac{3\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \omega \geq 3$

综合条件

  • $\omega$为偶数且$\omega \geq 3$，最小值为$\omega = 4$。
  • 验证$\omega=4$时，周期为$\frac{\pi}{2}$，$\pi$是其整数倍；零点$x=\frac{3\pi}{16}$在区间$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$内，满足条件。