题目
求微分方程ydx=(x-1)dy满足初始条件y|_(x=2)=1的特解A. y=x+1B. y=x-2C. y=x-1D. y=x+3
求微分方程$ydx=(x-1)dy$满足初始条件$y|_{x=2}=1$的特解
A. $y=x+1$
B. $y=x-2$
C. $y=x-1$
D. $y=x+3$
题目解答
答案
C. $y=x-1$
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程 $y \, dx = (x-1) \, dy$ 分离变量，得到： \[ \frac{dx}{x-1} = \frac{dy}{y} \]
步骤 2：两边积分
对分离变量后的方程两边积分，得到： \[ \int \frac{dx}{x-1} = \int \frac{dy}{y} \] \[ \ln |x-1| = \ln |y| + C \]
步骤 3：消去对数
消去对数，得到： \[ x-1 = ky \quad (\text{令 } e^C = k) \]
步骤 4：应用初始条件
由初始条件 $y|_{x=2} = 1$，代入得到： \[ 2-1 = k \cdot 1 \implies k = 1 \]
步骤 5：求特解
将 $k = 1$ 代入 $x-1 = ky$，得到特解： \[ x-1 = y \implies y = x-1 \]
将微分方程 $y \, dx = (x-1) \, dy$ 分离变量，得到： \[ \frac{dx}{x-1} = \frac{dy}{y} \]
步骤 2：两边积分
对分离变量后的方程两边积分，得到： \[ \int \frac{dx}{x-1} = \int \frac{dy}{y} \] \[ \ln |x-1| = \ln |y| + C \]
步骤 3：消去对数
消去对数，得到： \[ x-1 = ky \quad (\text{令 } e^C = k) \]
步骤 4：应用初始条件
由初始条件 $y|_{x=2} = 1$，代入得到： \[ 2-1 = k \cdot 1 \implies k = 1 \]
步骤 5：求特解
将 $k = 1$ 代入 $x-1 = ky$，得到特解： \[ x-1 = y \implies y = x-1 \]