设函数 f(x), g(x) 对一切 x in (-infty, +infty) 满足方程 f'(x) + g(x)f'(x) - f(x) = 0.又 f(a) = f(b) = 0，则在 (a, b) 内 f(x)()(A) 恒正.(B) 恒负.(C) 可正可负.(D) 恒为零.

我们来逐步分析这道题。

题目已知：

函数 $ f(x) $、$ g(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有定义，满足微分方程：

$f'(x) + g(x)f'(x) - f(x) = 0$

即：
$f'(x)(1 + g(x)) - f(x) = 0$

整理得：
$f'(x)(1 + g(x)) = f(x)$

我们来分析这个微分方程。

第一步：整理微分方程

从：
$f'(x)(1 + g(x)) = f(x)$

假设 $ 1 + g(x) \ne 0 $，我们可以解出：
$f'(x) = \frac{f(x)}{1 + g(x)}$

这是一个一阶微分方程，形式为：
$f'(x) = h(x) f(x)$
其中 $ h(x) = \frac{1}{1 + g(x)} $，只要 $ 1 + g(x) \ne 0 $，这就是一个线性齐次微分方程。

这类方程的通解为：
$f(x) = C \exp\left( \int h(x)\,dx \right) = C \exp\left( \int \frac{1}{1 + g(x)}\,dx \right)$

这说明：在 $ 1 + g(x) \ne 0 $ 的区间上，$ f(x) $ 要么恒为零（当 $ C = 0 $），要么在任意区间内不会变号（因为指数函数恒正，乘以常数 $ C $ 后符号不变）。

但注意：我们还没有用到边界条件。

第二步：利用边界条件 $ f(a) = f(b) = 0 $

已知 $ f(a) = 0 $，$ f(b) = 0 $，且 $ a < b $。

我们考虑 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上的性质。

从微分方程：
$f'(x)(1 + g(x)) = f(x)$

我们考虑用反证法或唯一性定理来分析。

第三步：考虑唯一性

上述微分方程：
$f'(x) = \frac{1}{1 + g(x)} f(x)$

如果 $ \frac{1}{1 + g(x)} $ 在区间 $ [a, b] $ 上是连续函数（即 $ 1 + g(x) \ne 0 $ 且 $ g(x) $ 连续），那么根据一阶线性微分方程解的存在唯一性定理，初值问题的解是唯一的。

现在，考虑在 $ x = a $ 处，$ f(a) = 0 $。

考虑零函数 $ f(x) \equiv 0 $，显然满足方程：

• $ f'(x) = 0 $
• 代入方程：$ 0 + g(x) \cdot 0 - 0 = 0 $，成立。

所以零函数是一个解。

而根据唯一性定理，如果系数函数 $ \frac{1}{1 + g(x)} $ 是连续的（即 $ 1 + g(x) \ne 0 $），那么从 $ f(a) = 0 $ 出发的解只能是零解。

即：在包含 $ a $ 的区间上，$ f(x) \equiv 0 $。

同理，如果 $ f(x) $ 在 $ a $ 处为 0，且满足该微分方程，且系数良好（不出现奇点），则 $ f(x) $ 必须恒为零。

但题目中没有说明 $ g(x) $ 是否连续，或 $ 1 + g(x) $ 是否为零。

不过我们可以换个角度思考。

第四步：不依赖连续性，直接分析

我们回到原方程：
$f'(x)(1 + g(x)) = f(x)$

假设在某个点 $ x_0 \in (a, b) $，有 $ f(x_0) \ne 0 $。

我们来分析是否可能。

考虑函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续（因为可导），且 $ f(a) = f(b) = 0 $。

如果 $ f(x) $ 不恒为零，则在 $ (a, b) $ 内某点取得正最大值或负最小值。

设 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内某点 $ x_0 $ 处取得正最大值，即：

• $ f(x_0) > 0 $
• $ f'(x_0) = 0 $（因为是极大值点，且在内部）

代入方程：
$f'(x_0)(1 + g(x_0)) = f(x_0) \Rightarrow 0 = f(x_0) > 0$
矛盾！

同理，若 $ f(x) $ 在 $ x_0 \in (a, b) $ 处取得负最小值，则：

• $ f(x_0) < 0 $
• $ f'(x_0) = 0 $

代入方程：
$0 = f(x_0) < 0$
也矛盾！

因此，$ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内既不能取得正最大值，也不能取得负最小值。

但 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，必有最大值和最小值。

• 若 $ f(x) \not\equiv 0 $，则最大值 > 0 或最小值 < 0。
• 但最大值若 > 0，只能在内部达到（因为端点为 0），导致矛盾。
• 最小值若 < 0，也只能在内部达到，也矛盾。

因此，唯一可能是：在 $ [a, b] $ 上 $ f(x) \equiv 0 $

结论：

在 $ (a, b) $ 内，$ f(x) \equiv 0 $

所以正确答案是：

$\boxed{\text{(D) 恒为零}}$

答案：(D) 恒为零

解题总结：

1. 从微分方程 $ f'(x)(1 + g(x)) = f(x) $ 出发。
2. 利用 $ f(a) = f(b) = 0 $，假设 $ f $ 在 $ (a, b) $ 内不恒为零。
3. 则 $ f $ 在内部某点取得正最大值或负最小值。
4. 在该点导数为 0，代入方程得 $ 0 = f(x_0) \ne 0 $，矛盾。
5. 故 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 内恒为零。

无需假设 $ g(x) $ 的连续性，仅需 $ f $ 可导即可。