(14)曲线 =xln (e+dfrac (1)(x)) 的斜渐近线方程为 __

斜渐近线的求解需要确定两个参数$a$和$b$，其中：

• $a$是当$x \to \infty$时，$\dfrac{y}{x}$的极限；
• $b$是当$x \to \infty$时，$y - a x$的极限。

本题的关键在于：

1. 计算$a$时，直接利用极限$\lim_{x \to \infty} \ln(e + \dfrac{1}{x})$；
2. 计算$b$时，通过变量替换$t = \dfrac{1}{x}$，将原式转化为关于$t$的极限，并利用泰勒展开或等价无穷小简化计算。

求$a$的值

根据定义：
$a = \lim_{x \to \infty} \dfrac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln\left(e + \dfrac{1}{x}\right)$
当$x \to \infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，因此：
$\ln\left(e + \dfrac{1}{x}\right) \to \ln e = 1$
故$a = 1$。

求$b$的值

根据定义：
$b = \lim_{x \to \infty} \left(y - a x\right) = \lim_{x \to \infty} \left[x \ln\left(e + \dfrac{1}{x}\right) - x\right]$
令$t = \dfrac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，代入得：
$b = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(e + t) - 1}{t}$
将$\ln(e + t)$展开为：
$\ln(e + t) = \ln\left[e\left(1 + \dfrac{t}{e}\right)\right] = 1 + \ln\left(1 + \dfrac{t}{e}\right)$
代入后：
$b = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{t}{e}\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{t}{e} - \dfrac{t^2}{2e^2} + \cdots}{t} = \dfrac{1}{e}$