题目
填空题（共6题，18.0分）23.（3.0分）当x→0时，若sin2x与x的关系是____。（填等价无穷小、高阶无穷小或同阶无穷小）第1空
填空题（共6题，18.0分）
23.（3.0分）当x→0时，若sin2x与x的关系是____。（填等价无穷小、高阶无穷小或同阶无穷小）
第1空
题目解答
答案
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小性质 $\sin u \sim u$（当 $u \to 0$），可得 $\sin 2x \sim 2x$。因此，
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2.
\]
由于极限为非零常数，$\sin 2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小。
答案：$\boxed{\text{同阶无穷小}}$
解析
步骤 1：利用等价无穷小性质
当 $x \to 0$ 时，根据等价无穷小性质，$\sin u \sim u$（当 $u \to 0$），可以将 $\sin 2x$ 替换为 $2x$。
步骤 2：计算极限
计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$，将 $\sin 2x$ 替换为 $2x$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x}$。
步骤 3：简化并求极限
简化得到 $\lim_{x \to 0} 2 = 2$，极限为非零常数，说明 $\sin 2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小。
当 $x \to 0$ 时，根据等价无穷小性质，$\sin u \sim u$（当 $u \to 0$），可以将 $\sin 2x$ 替换为 $2x$。
步骤 2：计算极限
计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$，将 $\sin 2x$ 替换为 $2x$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x}$。
步骤 3：简化并求极限
简化得到 $\lim_{x \to 0} 2 = 2$，极限为非零常数，说明 $\sin 2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小。