题目

1.(1)在下列句子中随机地取一个单词,以X表示取到的单词所包含的字母个数,写出-|||-X的分布律并求E (X).-|||-THE GIRL PUT ON HE R BEAUTIFUL R ED HAT".

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律和期望的计算。需要学生能够正确识别题目中的随机变量取值，统计各取值对应的概率，并运用期望公式进行计算。

解题核心思路：

  1. 拆分单词：将给定句子中的每个单词单独列出。
  2. 确定取值：统计每个单词的字母个数，得到随机变量$X$的可能取值。
  3. 计算概率：根据每个字母个数出现的次数，计算对应的概率。
  4. 求期望：利用期望公式$E(X) = \sum x_i p_i$进行计算。

破题关键点：

  • 正确拆分单词：注意句子中的空格分隔，确保每个单词独立。
  • 准确统计字母数：避免漏掉或重复计算字母个数。
  • 概率计算：总单词数需正确，概率需化简为最简分数。

步骤1：拆分单词并统计字母个数

给定句子："THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT"，拆分后的单词及字母个数如下：

  • THE (3字母)
  • GIRL (4字母)
  • PUT (3字母)
  • ON (2字母)
  • HER (3字母)
  • BEAUTIFUL (9字母)
  • RED (3字母)
  • HAT (3字母)

步骤2：确定随机变量$X$的可能取值

根据字母个数，$X$的可能取值为：2, 3, 4, 9。

步骤3：计算各取值的概率

  • $X=2$（对应单词"ON"）：出现1次，概率为$\dfrac{1}{8}$。
  • $X=3$（对应单词"THE, PUT, HER, RED, HAT"）：出现5次，概率为$\dfrac{5}{8}$。
  • $X=4$（对应单词"GIRL"）：出现1次，概率为$\dfrac{1}{8}$。
  • $X=9$（对应单词"BEAUTIFUL"）：出现1次，概率为$\dfrac{1}{8}$。

步骤4：求期望$E(X)$

$E(X) = 2 \cdot \dfrac{1}{8} + 3 \cdot \dfrac{5}{8} + 4 \cdot \dfrac{1}{8} + 9 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{30}{8} = \dfrac{15}{4} = 3.75$