题目
设 Sigma 为立方体 Omega = (x, y, z)| 0 leq x, y, z leq 1 的整个表面的外侧，则 iint 4xzdydz - y^2dzdx + yzdxdy = ( ).A. (1)/(2).B. 1.C. (3)/(2).D. (2)/(3).
设 $\Sigma$ 为立方体 $\Omega = \{(x, y, z)| 0 \leq x, y, z \leq 1\}$ 的整个表面的外侧，则 $\iint 4xzdydz - y^2dzdx + yzdxdy = (\quad).$
A. $\frac{1}{2}$.
B. $1$.
C. $\frac{3}{2}$.
D. $\frac{2}{3}$.
题目解答
答案
C. $\frac{3}{2}$.
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，对于一个闭合曲面 $\Sigma$ 和其内部的区域 $\Omega$，向量场 $\mathbf{F}$ 的通量可以通过计算 $\mathbf{F}$ 的散度在 $\Omega$ 上的三重积分来得到。即
\[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV. \]
步骤 2：计算散度
给定向量场 $\mathbf{F} = (4xz, -y^2, yz)$，计算其散度：
\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(yz) = 4z - 2y + y = 4z - y. \]
步骤 3：计算三重积分
在立方体 $\Omega = \{(x, y, z) | 0 \leq x, y, z \leq 1\}$ 上积分散度：
\[ \iiint_{\Omega} (4z - y) \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (4z - y) \, dx \, dy \, dz. \]
先对 $x$ 积分，由于 $4z - y$ 不依赖于 $x$，积分结果为 $4z - y$。再对 $y$ 积分，得到 $4z - \frac{1}{2}$。最后对 $z$ 积分，得到 $\frac{3}{2}$。
根据高斯公式，对于一个闭合曲面 $\Sigma$ 和其内部的区域 $\Omega$，向量场 $\mathbf{F}$ 的通量可以通过计算 $\mathbf{F}$ 的散度在 $\Omega$ 上的三重积分来得到。即
\[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV. \]
步骤 2：计算散度
给定向量场 $\mathbf{F} = (4xz, -y^2, yz)$，计算其散度：
\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(yz) = 4z - 2y + y = 4z - y. \]
步骤 3：计算三重积分
在立方体 $\Omega = \{(x, y, z) | 0 \leq x, y, z \leq 1\}$ 上积分散度：
\[ \iiint_{\Omega} (4z - y) \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (4z - y) \, dx \, dy \, dz. \]
先对 $x$ 积分，由于 $4z - y$ 不依赖于 $x$，积分结果为 $4z - y$。再对 $y$ 积分，得到 $4z - \frac{1}{2}$。最后对 $z$ 积分，得到 $\frac{3}{2}$。