题目
6.设 f(x)= { ,xgt 0 ax+b,xlt 0 . 在 x=0 处可导,则 () .-|||-A. =1, b=0 B. =0, b为任意常数-|||-C. =0, b=0 D. =1, b为任意常数
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处的连续性
函数 f(x) 在 x=0 处可导，首先需要在 x=0 处连续。因此，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$$
步骤 2：计算 x=0 处的左极限和右极限
对于 x>0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 \sin \frac{1}{x}$$
由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 x=0 处有界，而 $x^2$ 趋向于 0，因此：
$$\lim_{x \to 0^+} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$$
对于 x≤0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax + b) = b$$
步骤 3：确定函数在 x=0 处的连续性条件
为了使函数在 x=0 处连续，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$$
即：
$$0 = b$$
步骤 4：确定函数在 x=0 处的可导性条件
为了使函数在 x=0 处可导，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$
对于 x>0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$$
对于 x≤0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + b - b}{x} = \lim_{x \to 0^-} a = a$$
为了使函数在 x=0 处可导，需要满足：
$$0 = a$$
函数 f(x) 在 x=0 处可导，首先需要在 x=0 处连续。因此，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$$
步骤 2：计算 x=0 处的左极限和右极限
对于 x>0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 \sin \frac{1}{x}$$
由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 x=0 处有界，而 $x^2$ 趋向于 0，因此：
$$\lim_{x \to 0^+} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$$
对于 x≤0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax + b) = b$$
步骤 3：确定函数在 x=0 处的连续性条件
为了使函数在 x=0 处连续，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$$
即：
$$0 = b$$
步骤 4：确定函数在 x=0 处的可导性条件
为了使函数在 x=0 处可导，需要满足：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$
对于 x>0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$$
对于 x≤0 的部分，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + b - b}{x} = \lim_{x \to 0^-} a = a$$
为了使函数在 x=0 处可导，需要满足：
$$0 = a$$