题目
2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:-|||-(2)椭圆 (x)^2+16(y)^2=144 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化椭圆
椭圆 $9{x}^{2}+16{y}^{2}=144$ 可以参数化为 $x=4\cos t$ 和 $y=3\sin t$，其中 $t$ 是参数，$0 \leq t \leq 2\pi$。
步骤 2：计算曲线积分
根据格林定理，平面区域 $D$ 的面积 $A$ 可以表示为曲线积分 $\frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx)$，其中 $\partial D$ 是区域 $D$ 的边界。
步骤 3：计算椭圆的面积
将椭圆的参数方程代入曲线积分公式，得到 $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx) = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (4\cos t \cdot 3\cos t\,dt - 3\sin t \cdot (-4\sin t)\,dt)$。
步骤 4：简化积分
$A = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (12\cos^2 t + 12\sin^2 t)\,dt = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} 12\,dt = 6\oint_{\partial D} dt$。
步骤 5：计算积分
$A = 6\oint_{\partial D} dt = 6\int_{0}^{2\pi} dt = 6 \cdot 2\pi = 12\pi$。
椭圆 $9{x}^{2}+16{y}^{2}=144$ 可以参数化为 $x=4\cos t$ 和 $y=3\sin t$，其中 $t$ 是参数，$0 \leq t \leq 2\pi$。
步骤 2：计算曲线积分
根据格林定理，平面区域 $D$ 的面积 $A$ 可以表示为曲线积分 $\frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx)$，其中 $\partial D$ 是区域 $D$ 的边界。
步骤 3：计算椭圆的面积
将椭圆的参数方程代入曲线积分公式，得到 $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx) = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (4\cos t \cdot 3\cos t\,dt - 3\sin t \cdot (-4\sin t)\,dt)$。
步骤 4：简化积分
$A = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (12\cos^2 t + 12\sin^2 t)\,dt = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} 12\,dt = 6\oint_{\partial D} dt$。
步骤 5：计算积分
$A = 6\oint_{\partial D} dt = 6\int_{0}^{2\pi} dt = 6 \cdot 2\pi = 12\pi$。