题目
已知函数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__，则常数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__为何值时，函数在(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__处取得极值?判断其是极大值还是极小值，并求出极值。
已知函数
，则常数
为何值时，函数在
处取得极值?判断其是极大值还是极小值，并求出极值。
题目解答
答案
函数，则导数为
，由题意得
，则
，又
，
，故是极大值，则极值为
。
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)=a\sin x+\dfrac {1}{4}\sin 4x$的导数$f'(x)$。根据导数的求导法则，我们有$f'(x)=a\cos x+\cos 4x$。
步骤 2：求极值点
函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处取得极值，意味着$f'(\dfrac {\pi }{4})=0$。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f'(x)$，得到$a\cos \dfrac {\pi }{4}+\cos \pi =0$。由于$\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，$\cos \pi =-1$，因此我们有$a\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}-1=0$，解得$a=\sqrt {2}$。
步骤 3：判断极值类型
为了判断极值是极大值还是极小值，我们需要求出二阶导数$f''(x)$。根据导数的求导法则，我们有$f''(x)=-a\sin x-4\sin 4x$。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f''(x)$，得到$f''(\dfrac {\pi }{4})=-\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}-4\sin \pi =-\sqrt {2}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}-4\cdot 0=-1$。由于$f''(\dfrac {\pi }{4})<0$，因此函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处取得极大值。
步骤 4：求极值
最后，我们需要求出函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处的极值。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f(x)$，得到$f(\dfrac {\pi }{4})=\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}+\dfrac {1}{4}\sin \pi =\sqrt {2}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}+\dfrac {1}{4}\cdot 0=1$。
首先，我们需要求出函数$f(x)=a\sin x+\dfrac {1}{4}\sin 4x$的导数$f'(x)$。根据导数的求导法则，我们有$f'(x)=a\cos x+\cos 4x$。
步骤 2：求极值点
函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处取得极值，意味着$f'(\dfrac {\pi }{4})=0$。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f'(x)$，得到$a\cos \dfrac {\pi }{4}+\cos \pi =0$。由于$\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，$\cos \pi =-1$，因此我们有$a\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}-1=0$，解得$a=\sqrt {2}$。
步骤 3：判断极值类型
为了判断极值是极大值还是极小值，我们需要求出二阶导数$f''(x)$。根据导数的求导法则，我们有$f''(x)=-a\sin x-4\sin 4x$。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f''(x)$，得到$f''(\dfrac {\pi }{4})=-\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}-4\sin \pi =-\sqrt {2}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}-4\cdot 0=-1$。由于$f''(\dfrac {\pi }{4})<0$，因此函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处取得极大值。
步骤 4：求极值
最后，我们需要求出函数在$x=\dfrac {\pi }{4}$处的极值。将$x=\dfrac {\pi }{4}$代入$f(x)$，得到$f(\dfrac {\pi }{4})=\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}+\dfrac {1}{4}\sin \pi =\sqrt {2}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}+\dfrac {1}{4}\cdot 0=1$。