已知函数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__，则常数(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__为何值时，函数在(x)=asin x+dfrac (1)(4)sin 4x-|||-__处取得极值?判断其是极大值还是极小值，并求出极值。

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，涉及一阶导数求极值必要条件、二阶导数判断极值性质以及极值的计算。

解题核心思路：

1. 极值存在的必要条件：函数在极值点处的一阶导数为零，由此建立方程求解参数$a$。
2. 极值性质的判断：通过二阶导数的符号判断极值的类型（极大或极小）。
3. 极值的计算：将极值点代入原函数求出极值。

破题关键点：

• 正确求导：注意复合函数求导时的链式法则（如$\sin 4x$的导数）。
• 代入极值点：将$x = \dfrac{\pi}{4}$代入一阶导数方程，解出$a$。
• 二阶导数符号判断：代入$a$的值后，通过二阶导数的符号确定极值类型。

步骤1：求一阶导数并代入极值点

函数$f(x) = a \sin x + \dfrac{1}{4} \sin 4x$，求导得：
$f'(x) = a \cos x + \cos 4x \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{4} = a \cos x + \cos 4x$
根据极值存在的必要条件，$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$，代入计算：
$a \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \pi = 0$
其中$\cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos \pi = -1$，方程化简为：
$a \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{2}$

步骤2：求二阶导数判断极值性质

二阶导数为：
$f''(x) = -a \sin x - 4 \sin 4x$
代入$x = \dfrac{\pi}{4}$和$a = \sqrt{2}$：
$f''\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \sin \dfrac{\pi}{4} - 4 \sin \pi$
其中$\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \pi = 0$，计算得：
$f''\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -1 < 0$
二阶导数为负，说明$x = \dfrac{\pi}{4}$是极大值点。

步骤3：计算极值

将$x = \dfrac{\pi}{4}$代入原函数：
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{4} \sin \pi$
其中$\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \pi = 0$，计算得：
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$