11.设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}k(x+y),&0le xle 2,0le yle 1,0,&其他,则k=（）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. 1D. 3

考查要点：本题主要考查联合概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。需要根据这一性质建立方程求解未知常数k。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：题目中给出的联合概率密度函数在$0 \le x \le 2$和$0 \le y \le 1$时非零，因此积分区域为$x$从0到2，$y$从0到1。
2. 建立积分方程：根据概率密度函数的性质，双重积分$\iint_D f(x,y) \, dy \, dx = 1$，代入$f(x,y)=k(x+y)$，得到关于k的方程。
3. 分步计算积分：先对$y$积分，再对$x$积分，逐步化简求解k的值。

破题关键点：

• 正确应用概率密度函数的归一化条件，即积分结果必须等于1。
• 分步积分时注意变量分离，避免计算错误。

根据联合概率密度函数的性质，其在整个定义域上的积分等于1：

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} k(x+y) \, dy \, dx = 1$

步骤1：计算内积分（对$y$积分）
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} k(x+y) \, dy &= k \int_{0}^{1} (x + y) \, dy \\&= k \left[ \int_{0}^{1} x \, dy + \int_{0}^{1} y \, dy \right] \\&= k \left[ x \cdot (1-0) + \frac{1}{2} y^2 \bigg|_{0}^{1} \right] \\&= k \left( x + \frac{1}{2} \right)\end{aligned}$

步骤2：计算外积分（对$x$积分）
$\begin{aligned}\int_{0}^{2} k \left( x + \frac{1}{2} \right) \, dx &= k \left[ \int_{0}^{2} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 1 \, dx \right] \\&= k \left[ \frac{1}{2} x^2 \bigg|_{0}^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \right] \\&= k \left( \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 \right) \\&= k \cdot 3\end{aligned}$

步骤3：解方程求$k$
根据归一化条件，积分结果等于1：
$3k = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{3}$