题目
利用二重积分的性质估计下列积分的值: (2)=iint (sin )^2x(sin )^2ydtheta , 其中D=((x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π);
利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(2)
, 其中D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π};
题目解答
答案
因为0≤sin2x≤1, 0≤sin2y≤1, 所以0≤sin2x sin2y≤1. 于是可得
,
即 
.
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π}，这是一个在x轴和y轴上从0到π的矩形区域。
步骤 2：分析被积函数的性质
被积函数为${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$，由于正弦函数的平方在[0, π]区间内非负，因此${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$在D上非负。
步骤 3：确定被积函数的上下界
由于0≤sin2x≤1, 0≤sin2y≤1，所以0≤sin2x sin2y≤1。这意味着被积函数${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$在D上的值域为[0, 1]。
步骤 4：计算积分的上下界
根据二重积分的性质，可以得到
$\iint 0d\sigma \leqslant \iint {\sin }^{2}x{\sin }^{2}yd\sigma \leqslant \iint 1d\sigma $,
其中$\iint 0d\sigma = 0$，$\iint 1d\sigma $是D的面积，即${\pi }^{2}$。
积分区域D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π}，这是一个在x轴和y轴上从0到π的矩形区域。
步骤 2：分析被积函数的性质
被积函数为${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$，由于正弦函数的平方在[0, π]区间内非负，因此${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$在D上非负。
步骤 3：确定被积函数的上下界
由于0≤sin2x≤1, 0≤sin2y≤1，所以0≤sin2x sin2y≤1。这意味着被积函数${\sin }^{2}x{\sin }^{2}y$在D上的值域为[0, 1]。
步骤 4：计算积分的上下界
根据二重积分的性质，可以得到
$\iint 0d\sigma \leqslant \iint {\sin }^{2}x{\sin }^{2}yd\sigma \leqslant \iint 1d\sigma $,
其中$\iint 0d\sigma = 0$，$\iint 1d\sigma $是D的面积，即${\pi }^{2}$。