【113】交换积分次序int_(-(pi)/(4))^(pi)/(2)dthetaint_(0)^2costhetaf(rcostheta,rsintheta)rdr=____.

考查要点：本题主要考查极坐标系下二重积分的积分次序交换，需要理解极坐标积分区域的几何意义，并能将其转换为直角坐标系下的区域，进而重新确定积分限。

解题核心思路：

1. 识别极坐标方程对应的直角坐标系图形：原积分区域由$r=2\cos\theta$确定，对应直角坐标系中的圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$。
2. 分析积分区域的几何特征：原积分区域是该圆在$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$范围内的部分。
3. 分段处理积分区域：根据$r$的不同取值范围，将积分区域分为两部分：
   • $0 \leq r \leq \sqrt{2}$：此时$\theta$的范围为$[-\frac{\pi}{4}, \arccos\frac{r}{2}]$。
   • $\sqrt{2} \leq r \leq 2$：此时$\theta$的范围对称，为$[-\arccos\frac{r}{2}, \arccos\frac{r}{2}]$。

破题关键点：

• 极坐标方程转换为直角坐标系图形：通过$r=2\cos\theta$得到圆的方程。
• 分段积分的临界点：当$r=\sqrt{2}$时，$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$，此时积分区域的对称性发生变化。

步骤1：确定原积分区域的几何意义

原积分区域为极坐标系中：

• $\theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$
• $r \in [0, 2\cos\theta]$

对应直角坐标系中的圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$，圆心在$(1,0)$，半径为$1$。积分区域是该圆在$\theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$范围内的部分。

步骤2：分段处理积分区域

1. 当$0 \leq r \leq \sqrt{2}$时：
   • $\theta$的下限为$-\frac{\pi}{4}$（原积分下限）。
   • $\theta$的上限由$r=2\cos\theta$得$\theta = \arccos\frac{r}{2}$。
2. 当$\sqrt{2} \leq r \leq 2$时：
   • $\theta$的范围对称，由$r=2\cos\theta$得$\theta = \pm \arccos\frac{r}{2}$。

步骤3：交换积分次序

将原积分$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \, dr$交换次序为：

• 第一部分：$r$从$0$到$\sqrt{2}$，$\theta$从$-\frac{\pi}{4}$到$\arccos\frac{r}{2}$。
• 第二部分：$r$从$\sqrt{2}$到$2$，$\theta$从$-\arccos\frac{r}{2}$到$\arccos\frac{r}{2}$。