题目
19.（3.0分）如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数.A. 对B. 错
19.（3.0分）如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解导数为零的含义
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零，意味着对于区间 $I$ 内的任意点 $x$，函数 $f(x)$ 的变化率都为零。即 $f'(x) = 0$ 对于所有 $x \in I$ 成立。
步骤 2：应用导数的定义
根据导数的定义，$f'(x) = 0$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的瞬时变化率为零。这意味着函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处没有增加或减少的趋势，即函数值在该点附近保持不变。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在 $c \in (a, b)$，使得 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。由于 $f'(x) = 0$ 对于所有 $x \in I$ 成立，因此对于任意 $a, b \in I$，有 $f'(c) = 0$，从而 $f(b) = f(a)$。这表明函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的任意两点处的函数值相等，即 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数。
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零，意味着对于区间 $I$ 内的任意点 $x$，函数 $f(x)$ 的变化率都为零。即 $f'(x) = 0$ 对于所有 $x \in I$ 成立。
步骤 2：应用导数的定义
根据导数的定义，$f'(x) = 0$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的瞬时变化率为零。这意味着函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处没有增加或减少的趋势，即函数值在该点附近保持不变。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在 $c \in (a, b)$，使得 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。由于 $f'(x) = 0$ 对于所有 $x \in I$ 成立，因此对于任意 $a, b \in I$，有 $f'(c) = 0$，从而 $f(b) = f(a)$。这表明函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的任意两点处的函数值相等，即 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数。