题目

1.5 给定两矢量A=e_(x)2+e_(y)3-e_(z)4和B=-e_(x)6-e_(y)4+e_(z)，求Atimes B在C=e_(x)-e_(y)+e_(z)上的分量。

1.5 给定两矢量$A=e_{x}2+e_{y}3-e_{z}4$和$B=-e_{x}6-e_{y}4+e_{z}$，求$A\times B$在$C=e_{x}-e_{y}+e_{z}$上的分量。

题目解答

答案

首先，计算向量 $A \times B$。已知 $A = 2e_x + 3e_y - 4e_z$，$B = -6e_x - 4e_y + e_z$，则 \[ A \times B = \begin{vmatrix} e_x & e_y & e_z \\ 2 & 3 & -4 \\ -6 & -4 & 1 \end{vmatrix} = e_x(3 \cdot 1 - (-4) \cdot (-4)) - e_y(2 \cdot 1 - (-4) \cdot (-6)) + e_z(2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-6)) \] \[ = e_x(3 - 16) - e_y(2 - 24) + e_z(-8 + 18) = -13e_x + 22e_y + 10e_z \] 即 $A \times B = (-13, 22, 10)$。接下来，计算 $A \times B$ 在 $C = e_x - e_y + e_z$ 上的分量。先求点积 $(A \times B) \cdot C$： \[ (A \times B) \cdot C = (-13, 22, 10) \cdot (1, -1, 1) = -13 \cdot 1 + 22 \cdot (-1) + 10 \cdot 1 = -13 - 22 + 10 = -25 \] 再计算 $C$ 的模长： \[ |C| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] 因此，$A \times B$ 在 $C$ 上的分量为： \[ \frac{(A \times B) \cdot C}{|C|} = \frac{-25}{\sqrt{3}} = -\frac{25\sqrt{3}}{3} \] **答案：** $\boxed{-\frac{25\sqrt{3}}{3}}$（或 $\boxed{-\frac{25}{\sqrt{3}}}$）。

解析

考查要点：本题主要考查向量叉乘的计算以及向量在另一向量上的标量投影的求解方法。

解题核心思路：

向量叉乘：利用行列式展开法计算两个向量的叉乘结果，注意各分量的符号和运算顺序。
标量投影：通过点积公式计算叉乘结果与目标向量的点积，再除以目标向量的模长，得到标量投影。

破题关键点：

叉乘计算：正确展开行列式，避免符号错误。
投影公式：明确标量投影的公式为 $\frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}}{|\mathbf{C}|}$，而非向量投影。

计算向量叉乘 $A \times B$

设 $\mathbf{A} = 2\mathbf{e}_x + 3\mathbf{e}_y - 4\mathbf{e}_z$，$\mathbf{B} = -6\mathbf{e}_x -4\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z$，则：
$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ 2 & 3 & -4 \\ -6 & -4 & 1 \end{vmatrix}$

分步展开：

$\mathbf{e}_x$ 分量：
$3 \cdot 1 - (-4) \cdot (-4) = 3 - 16 = -13$
$\Rightarrow -13\mathbf{e}_x$
$\mathbf{e}_y$ 分量：
$-(2 \cdot 1 - (-4) \cdot (-6)) = -(2 - 24) = -(-22) = 22\mathbf{e}_y$
$\mathbf{e}_z$ 分量：
$2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-6) = -8 + 18 = 10$
$\Rightarrow 10\mathbf{e}_z$

综上，$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -13\mathbf{e}_x + 22\mathbf{e}_y + 10\mathbf{e}_z$。

计算标量投影

设 $\mathbf{C} = \mathbf{e}_x - \mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z$，则：

点积 $(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}$：
$(-13)(1) + (22)(-1) + (10)(1) = -13 -22 +10 = -25$
$\mathbf{C}$ 的模长：
$|\mathbf{C}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
标量投影：
$\frac{-25}{\sqrt{3}} = -\frac{25\sqrt{3}}{3}$