52.求极限lim_(xto0)((3-e^x)/(2+x))^(1)/(sin x).
题目解答
答案
设 $ y = \left( \frac{3 - e^x}{2 + x} \right)^{\frac{1}{\sin x}} $，则 $\ln y = \frac{1}{\sin x} \ln \left( \frac{3 - e^x}{2 + x} \right)$。
当 $ x \to 0 $ 时，$\sin x \sim x$，故
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{3 - e^x}{2 + x} \right).$
利用泰勒展开，$3 - e^x \sim 2 - x$，$2 + x \sim 2$，则
$\frac{3 - e^x}{2 + x} \sim \frac{2 - x}{2} = 1 - \frac{x}{2}.$
因此，
$\ln \left( \frac{3 - e^x}{2 + x} \right) \sim \ln \left( 1 - \frac{x}{2} \right) \sim -\frac{x}{2}.$
但注意到更精确的展开应为
$\ln \left( \frac{3 - e^x}{2 + x} \right) \sim -x,$
因为 $3 - e^x = 2 - x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，而 $2 + x$ 的影响被抵消。
故
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x} = -1.$
因此，
$\lim_{x \to 0} y = e^{-1} = \frac{1}{e}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{e}}$
解析
本题主要考察利用等价无穷小替换、泰勒展开以及对数恒等变换求极限，核心是处理幂指函数的极限问题。
步骤1：转化幂指函数为指数形式
对于幂指函数$\lim_{x\to0}\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}$，设$y=\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}$，取自然对数得：
$\ln y=\frac{1}{\sin x}\ln\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)$
原极限转化为求$\lim_{x\to0}\ln y$，再通过指数还原得到结果。
步骤2：等价无穷小替换简化分母
当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，故：
$\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)$
步骤3：泰勒展开分子中的对数项
关键是分析$\ln\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)$的等价无穷小：
- $e^x$的泰勒展开：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$，故$3-e^x=2-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$；
- $\frac{3-e^x}{2+x}=\frac{2-x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)}{2+x}$，分子分母同除以2：
$\frac{3-e^x}{2+x}=\frac{1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}+O(x^3)}{1+\frac{x}{2}}=\left(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\left(1-\frac{x}{2}+O(x^2)\right)=1-x+O(x^2)$ - 对$\ln(1-x+O(x^2))$，利用$\ln(1+t)\sim t$（$t\to0$），得：
$\ln\left(\frac{3-e^x}{2+x}\right)\sim -x+O(x^2)$
步骤4：计算极限$\lim_{x\to0}\ln y$
代入得：
$\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{x\to0}\frac{-x+O(x^2)}{x}=-1$
步骤5：指数还原得原极限
$\lim_{x\to0}y=e^{-1}=\frac{1}{e}$