设函数 f(x) 在 x = 5 处可导，并且极限 lim_(x to 5) (f(x) - f(5))/((x - 5)^3) = 3，则 f'(5) = _____。

我们来逐步分析并解答这个题目。

题目给出的信息：

函数 $ f(x) $ 在 $ x = 5 $ 处可导，并且：

$\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = 3$

要求的是：
$f'(5) = \ ?$

第一步：回顾导数的定义

函数在某一点的导数定义为：

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

所以，
$f'(5) = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}$

第二步：对比题目给出的极限

题目给出的是：

$\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = 3$

我们把这个极限与导数定义对比：

• 导数定义是除以 $ x - 5 $，
• 而题目中是除以 $ (x - 5)^3 $

所以我们可以把题目中的极限写成：

$\frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x - 5)^2}$

因此，

$\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = \lim_{x \to 5} \left( \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x - 5)^2} \right)$

我们令：

$A = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} = f'(5)$

那么原极限就变成：

$\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = \lim_{x \to 5} \left( A \cdot \frac{1}{(x - 5)^2} \right)$

但注意：这个极限中，如果 $ A \ne 0 $，那么 $ \frac{1}{(x - 5)^2} \to \infty $，极限会发散，不会等于一个有限值（比如3）。

因此，为了极限存在且为有限值 3，必须有：

$f'(5) = 0$

第三步：验证这个结论

如果 $ f'(5) = 0 $，那么：

$\frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \to 0 \quad \text{当 } x \to 5$

所以：

$\frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \cdot \frac{1}{(x - 5)^2} \to 0 \cdot \infty$

这是一个不定式，需要更精细地分析。

我们考虑泰勒展开：

设 $ f(x) $ 在 $ x = 5 $ 处可导，那么我们可以写成：

$f(x) = f(5) + f'(5)(x - 5) + \frac{f''(5)}{2}(x - 5)^2 + \frac{f'''(5)}{6}(x - 5)^3 + o((x - 5)^3)$

代入极限表达式：

$\frac{f(x) - f(5)}{(x - 5)^3} = \frac{f'(5)(x - 5) + \frac{f''(5)}{2}(x - 5)^2 + \frac{f'''(5)}{6}(x - 5)^3 + o((x - 5)^3)}{(x - 5)^3}$

$= \frac{f'(5)}{(x - 5)^2} + \frac{f''(5)}{2(x - 5)} + \frac{f'''(5)}{6} + o(1)$

为了这个极限存在并等于 3，所有发散项必须为 0：

• $ f'(5) = 0 $
• $ f''(5) = 0 $
• $ \frac{f'''(5)}{6} = 3 \Rightarrow f'''(5) = 18 $

所以，最终我们得到：

$f'(5) = \boxed{0}$

✅ 最终答案：

$\boxed{0}$