题目
3.(本小题8分)-|||-证明:当 gt 0 时, https:/img.zuoyebang.cc/zyb_de9aa062f6696adc199da7adcd15d773.jpg+xln (x+sqrt (1+{x)^2})gt sqrt (1+{x)^2}
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=1+x\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})-\sqrt {1+{x}^{2}}$ ，以便于后续的分析和证明。
步骤 2：求导
求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ ，以确定函数的单调性。$f'(x)=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 。
步骤 3：分析导数的符号
当 $x\gt 0$ 时，分析 $f'(x)$ 的符号。由于 $x+\sqrt {1+{x}^{2}}\gt 1$ ，所以 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})\gt 0$ ，即 $f'(x)\gt 0$ 。
步骤 4：确定函数的单调性
由于 $f'(x)\gt 0$ ，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
步骤 5：比较函数值
由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(x)\gt f(0)=0$ ，即 $1+x\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})-\sqrt {1+{x}^{2}}\gt 0$ 。
定义函数 $f(x)=1+x\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})-\sqrt {1+{x}^{2}}$ ，以便于后续的分析和证明。
步骤 2：求导
求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ ，以确定函数的单调性。$f'(x)=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 。
步骤 3：分析导数的符号
当 $x\gt 0$ 时，分析 $f'(x)$ 的符号。由于 $x+\sqrt {1+{x}^{2}}\gt 1$ ，所以 $\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})\gt 0$ ，即 $f'(x)\gt 0$ 。
步骤 4：确定函数的单调性
由于 $f'(x)\gt 0$ ，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
步骤 5：比较函数值
由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(x)\gt f(0)=0$ ，即 $1+x\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})-\sqrt {1+{x}^{2}}\gt 0$ 。