2.求下列函数的极值:-|||-(6) (x)=sin x+cos x(-dfrac (pi )(2)leqslant xleqslant dfrac (pi )(2))

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x) = \sin x + \cos x$ 的导数。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \cos x - \sin x$$
步骤 2：求导数为零的点
接下来，我们需要找到导数为零的点，即解方程 $f'(x) = 0$。因此，我们有：
$$\cos x - \sin x = 0$$
解这个方程，我们得到：
$$\cos x = \sin x$$
$$\tan x = 1$$
在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内，满足 $\tan x = 1$ 的点是 $x = \frac{\pi}{4}$。
步骤 3：判断极值
为了判断 $x = \frac{\pi}{4}$ 是极大值点还是极小值点，我们需要检查导数在该点附近的符号变化。当 $-\frac{\pi}{2} \leq x < \frac{\pi}{4}$ 时，$f'(x) > 0$，说明函数在该区间内单调递增；当 $\frac{\pi}{4} < x \leq \frac{\pi}{2}$ 时，$f'(x) < 0$，说明函数在该区间内单调递减。因此，$x = \frac{\pi}{4}$ 是函数的极大值点。
步骤 4：计算极值
最后，我们需要计算函数在极大值点的值。将 $x = \frac{\pi}{4}$ 代入原函数，我们得到：
$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$