(2)函数 (x)=dfrac ({x)^2-x}({x)^2-1}sqrt (1+dfrac {1)({x)^2}} 的无穷间断点的个数为 ()-|||-(A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3

考查要点：本题主要考查函数无穷间断点的判断，需要结合分式函数和根号函数的定义域及极限分析。

解题核心思路：

1. 确定函数的定义域：找出分母为零和根号内非负的条件，确定无定义点。
2. 分析各无定义点的极限：判断函数在这些点附近是否趋向于无穷大，从而确定是否为无穷间断点。
3. 综合判断：排除可去间断点和跳跃间断点，统计无穷间断点的个数。

破题关键点：

• 分式部分 $\dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1}$ 的分母 $x^2 - 1$ 在 $x = \pm 1$ 处为零，需分析极限。
• 根号部分 $\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$ 在 $x = 0$ 处无定义，需结合分式部分判断整体极限。
• 极限计算：通过化简和近似分析，确定各无定义点的极限是否存在且为无穷大。

步骤1：确定函数定义域

函数 $f(x)$ 的定义域需满足：

1. 分母不为零：$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$；
2. 根号内非负：$1 + \dfrac{1}{x^2} \geq 0$ 恒成立，但 $x \neq 0$（分母 $x^2 \neq 0$）。

因此，定义域为 $x \neq 0, \pm 1$，无定义点为 $x = 0, 1, -1$。

步骤2：分析各无定义点的极限

(1) $x = 0$ 处

• 分式部分：$\dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1} \approx \dfrac{-x}{-1} = x$（当 $x \to 0$ 时）；
• 根号部分：$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \approx \dfrac{1}{|x|}$；
• 整体极限：$f(x) \approx x \cdot \dfrac{1}{|x|} = \dfrac{x}{|x|}$，即：
  • $x \to 0^+$ 时，极限为 $1$；
  • $x \to 0^-$ 时，极限为 $-1$。
• 结论：$x = 0$ 是跳跃间断点，非无穷间断点。

(2) $x = 1$ 处

• 分式化简：$\dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x}{x+1}$（当 $x \neq 1$）；
• 极限计算：$\lim_{x \to 1} \dfrac{x}{x+1} \cdot \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
• 结论：$x = 1$ 是可去间断点，非无穷间断点。

(3) $x = -1$ 处

• 分式部分：$\dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1} \approx \dfrac{2}{0}$，当 $x \to -1^+$ 时分母趋近于 $0^-$，整体趋向 $-\infty$；
• 根号部分：$\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \to \sqrt{2}$；
• 整体极限：$f(x) \to -\infty \cdot \sqrt{2} = -\infty$；
• 结论：$x = -1$ 是无穷间断点。

步骤3：统计无穷间断点个数

唯一满足条件的是 $x = -1$，因此无穷间断点的个数为 1。