例2.3 计算曲线积分 (int )_(L)^((x^2+1-{e)^ysin x)dy-(e)^ycos xdx} ,其中L为半圆-|||-.=sqrt (1-{y)^2} 上从点 A(0,-1) 到点B(0,1)的一段弧.

考查要点：本题主要考查格林公式的应用，通过构造闭合曲线将曲线积分转化为二重积分，再结合线段积分求解。

解题核心思路：

1. 构造闭合曲线：将原曲线$L$与线段$BA$组合成闭合曲线$C$，利用格林公式将曲线积分转化为二重积分。
2. 计算闭合曲线积分：应用格林公式计算闭合曲线$C$上的积分，转化为对应区域$D$上的二重积分。
3. 处理线段积分：单独计算线段$BA$上的积分，最终结合两部分结果得到原积分值。

破题关键点：

• 识别积分与路径特点：原积分路径$L$为右半圆弧，构造闭合曲线时需补充线段$BA$。
• 验证格林公式条件：确认积分与路径无关，确保$P(x,y)$和$Q(x,y)$在区域$D$内具有一阶连续偏导数。

步骤1：构造闭合曲线

取闭合曲线$C = L + BA$（逆时针方向），其中$L$为右半圆$x = \sqrt{1 - y^2}$，$BA$为线段$x=0$从$B(0,1)$到$A(0,-1)$。闭合曲线围成的区域$D$为右半单位圆。

步骤2：应用格林公式

根据格林公式：
$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$
其中$P = -e^y \cos x$，$Q = x^2 + 1 - e^y \sin x$，计算偏导数：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -e^y \cos x$
因此：
$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (2x + e^y \cos x) dxdy$

步骤3：计算二重积分

将积分转换为极坐标（$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$D$为右半单位圆）：
$\iint_D 2x \, dxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 2r\cos\theta \cdot r \, dr d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^1 2r^2 \, dr = \frac{4}{3}$

步骤4：计算线段$BA$上的积分

在线段$BA$上，$x=0$，$dx=0$，积分变为：
$\int_{BA} (0 + 1 - e^y \sin 0) dy = \int_{-1}^1 1 \, dy = 2$

步骤5：结合结果

闭合曲线积分$\oint_C = \frac{4}{3}$，原积分$\int_L = \oint_C - \int_{BA} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$。