题目
17.(填空题，4.0分)iintlimits_(D)8xydsigma=( )，其中D由抛物线x^2=y与直线x=y-2围成.
17.(填空题，4.0分)
$\iint\limits_{D}8xyd\sigma=( )$，
其中D由抛物线$x^{2}=y$与直线x=y-2围成.
题目解答
答案
将区域 $D$ 表示为 $-1 \leq x \leq 2$，$x^2 \leq y \leq x+2$。
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{x^2}^{x+2} 8xy \, dy = 4x \left[ y^2 \right]_{x^2}^{x+2} = 4x \left[ (x+2)^2 - (x^2)^2 \right] = 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right].
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{-1}^{2} 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right] \, dx = 4 \int_{-1}^{2} \left[ x^3 + 4x^2 + 4x - x^5 \right] \, dx.
\]
计算得：
\[
4 \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + 2x^2 - \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{2} = 4 \left[ \left( 4 + \frac{32}{3} + 8 - \frac{32}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2 - \frac{1}{6} \right) \right] = 4 \times \frac{45}{4} = 45.
\]
**答案：** $\boxed{45}$
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$
抛物线 $x^2 = y$ 与直线 $x = y - 2$ 围成的区域 $D$ 可以通过解方程组 $x^2 = y$ 和 $x = y - 2$ 来确定。将 $y = x + 2$ 代入 $x^2 = y$，得到 $x^2 = x + 2$，即 $x^2 - x - 2 = 0$。解这个二次方程，得到 $x = -1$ 或 $x = 2$。因此，$D$ 可以表示为 $-1 \leq x \leq 2$，$x^2 \leq y \leq x + 2$。
步骤 2：计算二重积分
先对 $y$ 积分：\[ \int_{x^2}^{x+2} 8xy \, dy = 4x \left[ y^2 \right]_{x^2}^{x+2} = 4x \left[ (x+2)^2 - (x^2)^2 \right] = 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right]. \] 再对 $x$ 积分：\[ \int_{-1}^{2} 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right] \, dx = 4 \int_{-1}^{2} \left[ x^3 + 4x^2 + 4x - x^5 \right] \, dx. \] 计算得：\[ 4 \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + 2x^2 - \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{2} = 4 \left[ \left( 4 + \frac{32}{3} + 8 - \frac{32}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2 - \frac{1}{6} \right) \right] = 4 \times \frac{45}{4} = 45. \]
抛物线 $x^2 = y$ 与直线 $x = y - 2$ 围成的区域 $D$ 可以通过解方程组 $x^2 = y$ 和 $x = y - 2$ 来确定。将 $y = x + 2$ 代入 $x^2 = y$，得到 $x^2 = x + 2$，即 $x^2 - x - 2 = 0$。解这个二次方程，得到 $x = -1$ 或 $x = 2$。因此，$D$ 可以表示为 $-1 \leq x \leq 2$，$x^2 \leq y \leq x + 2$。
步骤 2：计算二重积分
先对 $y$ 积分：\[ \int_{x^2}^{x+2} 8xy \, dy = 4x \left[ y^2 \right]_{x^2}^{x+2} = 4x \left[ (x+2)^2 - (x^2)^2 \right] = 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right]. \] 再对 $x$ 积分：\[ \int_{-1}^{2} 4x \left[ x^2 + 4x + 4 - x^4 \right] \, dx = 4 \int_{-1}^{2} \left[ x^3 + 4x^2 + 4x - x^5 \right] \, dx. \] 计算得：\[ 4 \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + 2x^2 - \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{2} = 4 \left[ \left( 4 + \frac{32}{3} + 8 - \frac{32}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2 - \frac{1}{6} \right) \right] = 4 \times \frac{45}{4} = 45. \]