6.8 设随机变量X的概率密度为 f(x)= ) (2)^-xln 2,xgt 0 0, . 对X进行独立重复观测,直到第2个-|||-大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数.-|||-(1)求Y的概率分布;-|||-(2)求EY.

考查要点：本题主要考查负二项分布的应用及期望的计算。需要理解“直到第2次成功才停止”的试验次数分布，并掌握其期望公式。

解题核心思路：

1. 确定成功概率：计算单次观测值大于3的概率$p$，利用指数分布的性质简化积分。
2. 识别分布类型：观测次数$Y$符合负二项分布（描述第$r$次成功时的试验次数）。
3. 应用期望公式：直接使用负二项分布的期望公式$EY = \frac{r}{p}$，避免复杂求和。

破题关键点：

• 指数分布的识别：概率密度函数$f(x) = 2^{-x} \ln 2$对应参数$\lambda = \ln 2$的指数分布。
• 负二项分布的参数匹配：$r=2$次成功，每次成功的概率$p = \frac{1}{8}$。

第（1）题

步骤1：计算单次成功的概率$p$
由指数分布的性质，$P(X > 3) = e^{-\lambda \cdot 3}$，其中$\lambda = \ln 2$，因此：
$p = e^{-(\ln 2) \cdot 3} = e^{\ln 2^{-3}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}.$

步骤2：确定$Y$的分布
$Y$表示直到第2次成功（观测值>3）时的试验次数，符合负二项分布，其概率质量函数为：
$P(Y = k) = \binom{k-1}{1} p^2 (1-p)^{k-2}, \quad k = 2, 3, \ldots$
即：
$P(Y = k) = (k-1) \left( \frac{1}{8} \right)^2 \left( \frac{7}{8} \right)^{k-2}.$

第（2）题

步骤1：应用负二项分布的期望公式
负二项分布的期望为：
$EY = \frac{r}{p} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 16.$

步骤2（补充验证）：级数求和法
若展开计算：
$EY = \sum_{k=2}^{\infty} k \cdot (k-1) \left( \frac{1}{8} \right)^2 \left( \frac{7}{8} \right)^{k-2},$
通过变量代换和求导公式可化简得相同结果。